Движение по окружности

Наряду с движением вдоль прямой в школьной физике рассматривают движение по окружности. Для него, по аналогии с прямолинейным движением, вводятся понятия пройденного пути, скорости движения и ускорения.

В физике выделяют несколько видов движения тел. Движение по окружности – это один из случаев движения вдоль кривой линии — криволинейного движения.

Сравним понятия пройденного пути, скорости и ускорения для прямолинейного движения и движения по окружности.

Угловой путь

Для начала, вспомним, что линейное перемещение – это разница между конечным и начальным положением точки на оси (рис. 1).

\[ S = x – x_{0} \]

Рис. 1. Линейное перемещение равно разности между конечным и начальным положениями точки на оси

Рассмотрим теперь колесо (рис. 2). На горизонтальной линии, проходящей через диаметр колеса, справа отметим красную точку, от которой мы начнем отсчитывать углы. Условимся считать, что возле этой точки находится нулевой угол.

Рис. 2. Точка из положения 1 сместилась в положение 2, пройдя угловой путь

На ободе колеса выберем точку, например — ниппель. Сначала ниппель находился в точке 1. Точка 1 сдвинута на угол \(\gamma_{1}\) относительно начала отсчета.

Будем вращать колесо в направлении, обозначенном синей стрелкой. Повернем колесо на некоторый угол, так, чтобы к концу движения ниппель переместился в точку, обозначенную цифрой 2 на рисунке. Эта точка смещена на угол \(\gamma_{2}\) по отношению к началу отсчета.

По аналогии с поступательным движением, угловой путь, который прошел ниппель — это разница (разность) угловых положений точек 1 и 2.

\[\large \boxed{ \varphi = \gamma_{2} — \gamma_{1} }\]

\(\varphi \left( \text{рад}\right)\) – угловой путь измеряется в радианах.

Угловой путь – это угол, на который повернулся ниппель, по отношению к его начальному положению.

Угловая скорость — куда она направлена

Если тело двигалось равномерно (с неизменной скоростью), то линейную скорость можно определить по формуле

\[v = \frac{S}{t} \]

\(v \left( \frac{\text{м}}{c} \right)\) — линейная скорость – это путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность метров деленных на секунду.

Аналогично линейному случаю, если угловой путь поделить на время движения, получим угловую скорость.

\[ \large \boxed{ \omega = \frac{\varphi}{t} } \]

\(\omega \left( \frac{\text{рад}}{c} \right)\) – угловая скорость – это угловой путь, деленный на время, поэтому она имеет размерность радиан деленных на секунду.

Угловая скорость \( \omega \), так же, как и линейная скорость, является вектором. Но в отличии от линейной скорости его направление можно определить по правилу буравчика (правого винта).

Примечание: Направление вектора угловой скорости \( \vec{\omega} \) можно определить по правилу буравчика (правого винта)!

На рисунке 3 окружность располагается в горизонтальной плоскости, а вектор \( \vec{\omega }\) направлен вдоль вертикальной оси вращения. Направление вращения указано синей стрелкой.

Рис. 3. Линейная и угловая скорости точки, вращающейся по окружности. Угловая скорость направлена по правилу правого винта вдоль оси вращения

При движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec{v}\) изменяет свое направление. Но в каждой точке окружности вектор \(\vec{v}\) направлен по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу.

Примечание: Касательная и радиус перпендикулярны, это известно из геометрии.

Если точка начнет вращаться в противоположную сторону, то векторы линейной и угловой скорости развернутся противоположно направлениям, указанным на рисунке 3.

Связь между линейной и угловой скоростью

Угловая и линейная скорость связаны математически. Линейная скорость – это векторное произведение вектора угловой скорости и вектора радиуса окружности.

Примечание: Радиус окружности – это вектор, он направлен от центра окружности к ее внешней границе.

Векторный вид:

\[\large \boxed{ \left[\vec{\omega}, \vec{R} \right] = \vec{v} }\]

Скалярный вид записи связи скоростей:

\[ \large \boxed{ \omega \cdot R = v }\]

\(\omega \left( \frac{\text{рад}}{c} \right)\) – угловая скорость;

\(v \left( \frac{\text{м}}{c} \right)\) — линейная скорость;

\(R \left( \text{м}\right)\) – радиус окружности.

Частота и период

Вращательное движение описывают с помощью таких характеристик, как частота и период.

Период обращения – это время одного полного оборота. В системе СИ период измеряют в секундах.

\( T \left(c \right)\) – время, за которое тело совершило полный оборот – период. Время – это скалярная величина.

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных оборотов совершило тело за одну секунду?».

\( \displaystyle \nu\left( \frac{1}{c} \right)\) – частота оборотов, скаляр.

Вместо записи \( \displaystyle \left( \frac{1}{c} \right)\) иногда используют \(\displaystyle \left( c^{-1} \right)\), или  \( \left( \text{Гц} \right)\) – Герц. Это фамилия Генриха Герца, знаменитого физика.

\[\displaystyle 1 \text{Гц}  = \frac{1}{c} = c^{-1} \]

Частота и период связаны обратной пропорциональностью:

\[ \large \boxed{ T  = \frac{1}{\nu} } \]

Количество оборотов

Двигаясь по окружности достаточное время, тело может пройти не один оборот. Зная угловой путь \(\varphi \) мы можем вычислить количество N оборотов.

\[\large \boxed{ \varphi = 2 \pi \cdot N }\]

\( N \) – количество оборотов, скаляр. Обороты считают поштучно.

Связь между угловой скоростью и частотой

Разделим обе части уравнения на время t, в течение которого тело вращалось

\[ \frac{\varphi }{t} = 2 \pi \cdot \frac{N}{t} \]

Левая часть уравнения – это угловая скорость.

\[ \large \boxed{ \frac{\varphi }{t} = \omega }\]

А дробь в правой части – это частота

\[ \large \boxed{ \frac{N}{t} = \nu }\]

Таким образом, мы получили связь между угловой скоростью и частотой

\[ \large \boxed{ \left|\vec{\omega} \right|= 2 \pi \cdot \nu } \]

Примечание: Решая задачи на равноускоренное движение по окружности, удобно переходить от частоты к угловой скорости. Тогда можно будет применять аналогию с формулами для равноускоренного движения по прямой.