Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим тело, брошенное под углом к горизонту. Пусть сопротивление воздуха будет очень малой величиной, такой малой, что мы сможем ей пренебречь.

Благодаря силе притяжения земли тело часть пути будет подниматься над поверхностью, а часть – опускаться к поверхности. Траектория полета такого тела – это парабола (рис. 1).

Рис. 1. Парабола – это траектория тела, брошенного под углом к горизонту

Разложим скорость тела

Вместо того, чтобы рассматривать сложное движение одного тела по параболе, будем рассматривать одновременное и более простое движение двух тел. Одно тело движется по вертикали, а второе – по горизонтали. Тела одновременно стартуют и заканчивают движение.

Мы сможем сложное движение разделить на два простых, как только разложим на проекции скорость тела. Полученные скорости будем рассматривать, как скорости отдельно двигающихся тел.

Любой вектор, направленный под углом к осям, можно разложить на проекции — вертикальную и горизонтальную (рис. 2).

Рис. 2. Вектор начальной скорости тела раскладываем на проекции, после этого можно каждую проекцию рассматривать отдельно

Формулы разложения скорости выглядят так:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v_{0y}  = v \cdot sin(\alpha) \\ v_{0x}  = v \cdot cos(\alpha) \end{cases} } \]

Вертикальная и горизонтальная проекции скорости

Обратим внимание теперь на рисунок 3.

Рис. 3. Вертикальная часть скорости сначала уменьшается, а потом растет, а горизонтальная часть – не меняется

На рисунке черным цветом обозначен вектор скорости летящего тела. Видно, что от точки к точке он изменяется не только по модулю, но и по направлению. То есть, меняются характеристики вектора.

Вектор, обозначенный синим цветом на рисунке – это горизонтальная проекция вектора скорости. Заметно, что горизонтальная часть скорости не меняется ни по длине, ни по направлению, то есть, остается постоянной (одной и той же).

Вертикальная проекция скорости обозначена на рисунке красным цветом. При движении вверх она уменьшается, а при движении вниз – растет.

В самой высокой точке траектории вертикальная проекция скорости превращается в ноль. Из-за этого в верхней точке скорость направлена только горизонтально и равна числу \( v_{0x}\). Число \( v_{0x}\) – это горизонтальная проекция начальной скорости \( v_{0}\) тела.

Упростить сложное движение тела на плоскости можно, рассматривая отдельно движение двух тел: одно тело движется по вертикали, меняя свою скорость, а второе – по горизонтали и, скорость свою не меняет.

Из рисунка 3 так же, следует, что

если тело при падении вернется на уровень, с которого оно стартовало, то:

1. скорость, с которой мы подбросим тело, по модулю будет равна скорости, с которой тело упадет;
2. угол \(\alpha\) между скоростью тела на старте и осью Ox будет равен углу между конечной скоростью и горизонталью;
3. время подъема равняется времени спуска;

Запишем теперь формулы, описывающие движение тела, под углом к горизонту. Разделим движение тела на две части: подъем и спуск. Вертикальное движение тела происходит под действием силы тяжести.

Подъем

Когда тело поднимается, оно проходит вертикальный путь \(h\):

\[ \large h  = v_{0y} \cdot t_{\text{вверх}} — g \cdot  \frac{t_{\text{вверх}}^2}{2} \]

Вертикальная часть скорости уменьшается – движение равнозамедленное:

\[ \large v_{y}  = v_{0y} — g \cdot t_{\text{вверх}} \]

Горизонтальная часть скорости остается такой же, как была в начале пути.

\[ \large v_{x}  = v_{0x} \]

Поэтому вдоль горизонтали движение равномерное, т. е. происходит с неизменной скоростью

\[ \large S_{1} = v_{0x} \cdot t_{\text{вверх}}\]

Эти формулы можно записать в виде системы:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v_{y}  = v_{0y} — g \cdot t_{\text{вверх}} \\ h  = v_{0y} \cdot t_{\text{вверх}} — g \cdot  \frac{t_{\text{вверх}}^2}{2} \\ S_{1} = v_{0x} \cdot t_{\text{вверх}} \end{cases} } \]

На максимальной высоте траектории скорость имеет только горизонтальную проекцию (вертикальной скорости нет, скорость только горизонтальная).

\[ \large \boxed{ \begin{cases} h  = h_{max} \\ v_{y}  = 0 \\ v = v_{0x} \end{cases} } \]

Спуск

При спуске, вертикальная проекция скорости растет – движение равноускоренное

\[ \large v_{y}  = 0 + g \cdot t_{\text{вниз}} \] ,

Тело спускается, вертикальное перемещение можно найти из соотношения

\[ \large h  = g \cdot  \frac{t_{\text{вниз}}^2}{2} \]

Горизонтальная часть скорости – все так же, меняться не будет. Поэтому движение вдоль горизонтали происходит с неизменной скоростью и тело проходит вторую часть горизонтального пути

\[ \large S_{2} = v_{0x} \cdot t_{\text{вниз}} \]

Объединим эти формулы в систему

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v_{y}  = 0 + g \cdot t_{\text{вниз}} \\ h  = g \cdot  \frac{t_{\text{вниз}}^2}{2} \\ S_{2} = v_{0x} \cdot t_{\text{вниз}} \end{cases} } \]

После того, как мы найдем время подъема и время спуска, можем найти общий путь по горизонтали:

\[ \large \boxed{ S = S_{1} + S_{2} = v_{0x} \cdot  \left(t_{\text{вверх}} + t_{\text{вниз}} \right)}\]