В школьной физике в основном рассматривают движение тел вдоль прямой – одномерный случай. Реже — на плоскости, когда для описания координат используем две взаимно перпендикулярные оси «Ox» и «Oy», т. е. двумерный случай движения.
В случае поступательного движения на плоскости, мы раскладываем векторы перемещения, скорости и ускорения на проекции по осям. Каждую проекцию при этом можно рассматривать, как случай одномерного движения отдельного тела. Тогда для каждой оси имеется своя скорость, свое ускорение и свое перемещение этого тела.
Примечания:
- Одним из примеров движения в плоскости может служить движение тела под действием силы тяжести. В этом случае плоскость, по которой движется тело, будет располагаться вертикально.
- Еще один пример: Заряженная частица влетела в магнитное поле, перпендикулярно вектору магнитной индукции. Движение частицы, также, будет происходить в плоскости.
Перемещение, скорость и ускорение на плоскости
Опишем движение материальной точки на плоскости. В процессе движения изменяются две координаты – «x» и «y». Перемещение тела для двумерного движения можно разделить на две проекции.
На рисунке 1 точка, в которой тело находилось в начале движения, имеет координаты \(\left( x_{0}; y_{0} \right) \).
Конечная точка, в которую тело сместилось в процессе движения, имеет координаты \(\left( x; y \right) \).
Серая линия – это траектория тела, а вектор перемещения тела обозначен красным цветом.
Разложим вектор перемещения на проекции по осям:
\[ \large \begin{cases} S_{x} = x — x_{0} \\ S_{y} = y — y_{0} \end{cases}\]
А после запишем координаты вектора перемещения
\[ \large \vec{S}=\left\{ S_{x}; S_{y} \right\} \]
Пользуясь известными проекциями на плоскости, мы можем посчитать модуль вектора перемещения:
\[ \large \left| \vec{S} \right| = \sqrt{ \left( S_{x} \right)^2 + \left( S_{y} \right)^2} \]
На перемещение тела было затрачено время t. По известному перемещению мы можем найти скорости и ускорения тела.
Векторы скорости и ускорения тела на плоскости будут иметь две координаты
\[ \large \vec{v}=\left\{ v_{x}; v_{y} \right\} \]
\[ \large \vec{a}=\left\{ a_{x}; a_{y} \right\} \]
Физический смысл производной
Этот смысл применяется не только для движения на плоскости, а вообще, к любому движению.
Скорость – это первая производная вектора перемещения, взятая по времени
\[ \large \boxed { \frac{d\vec{S}}{dt} = \vec{v} }\]
Запись читается, как «дэ эс по дэ тэ равно вэ».
Ускорение – это вторая производная вектора перемещения, взятая по времени
\[ \large \boxed {\frac{d^{2}\vec{S}}{dt^{2}} = \vec{a} }\]
Эта запись читается, как «дэ два эс по дэ тэ дважды равно а».
Также, ускорение – это первая производная скорости по времени
\[\large \boxed{\frac{d\vec{v}}{dt} =\vec{a}}\]
Примечание: Словосочетание «физический смысл производной» следует понимать, как «что такое производная с точки зрения физики»
Перемещение самолета при боковом ветре
Найдем теперь перемещение тела, движущегося в горизонтальной плоскости.
Для решения задачи будем применять законы Ньютона, формулы кинематики и правила сложения векторов.
В горизонтальной плоскости летит самолет. Он движется по прямой с неизменной скоростью \(\vec{v_{0x}}\), масса самолета \(m\). В некоторый момент времени подул ветер, перпендикулярно направлению, в котором движется самолет. Порыв ветра длился t секунд. Сила ветра, действующая на самолет, постоянная и равна \(\vec{F}\). Найти координаты вектора конечной скорости самолета и перемещение самолета к тому моменту, когда ветер прекратился.
Решение задачи
Составим рисунок, на нем отметим векторы скорости самолета, силу воздействия на самолет и проведем оси. Координатные оси лежат в горизонтальной плоскости. Будем считать, что сила начала действовать на самолет в начальный момент времени \(t_{0} = 0 \) секунд.
На рисунке 2 изображены векторы скорости самолета и силы воздействия бокового ветра.
Координаты вектора ускорения
В условии задачи написано, что на самолет действует боковая сила \(\vec{F}\). Используем ее, чтобы записать силовое уравнение для оси Oy:
\[ \large F = m \cdot a_{y} \]
По второму закону Ньютона, когда ускорение есть, скорость тела будет изменяться. \(a_{y}\) – это проекция ускорения, приобретенного самолетом, она сонаправлена с вектором силы. То есть, направлена вдоль оси Oy. Выразим это ускорение из силового уравнения:
\[ \large \frac{F}{m} = a_{y} \]
По условию, вдоль оси Ox самолет движется с неизменной скоростью. Из первого закона Ньютона следует, что силы, действующие на самолет вдоль оси Ox, скомпенсированы. Значит, ускорения, направленного вдоль оси Ox, нет.
\[ \large a_{x} = 0 \]
Таким образом, координаты вектора ускорения самолета будут иметь вид:
\[ \large \vec{a}=\left\{ 0; a_{y} \right\} \]
Координаты вектора скорости
Зная ускорение, мы можем составить уравнения для скорости тела.
В начальный момент времени скорость имеет такие координаты:
\[ \large \vec{v_{0}}=\left\{ v_{0x}; 0 \right\} \]
Вектор скорости изменится благодаря наличию вектора ускорения. В конечной точке траектории скорость будет иметь координаты, отличные от начальных:
\[ \large \vec{v}=\left\{ v_{x}; v_{y} \right\} \]
Найдем координаты вектора конечной скорости. Конечная скорость будет больше начальной, значит, движение равноускоренное.
Запишем в векторном виде связь между начальной и конечной скоростью
\[ \large \vec{v}= \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \]
В это уравнение входит вектор \(\vec{a} \cdot t\). Его получили путем умножения вектора на скаляр. Вектор \(\vec{a} \cdot t\) сонаправлен с вектором \(\vec{a} \), но длина его больше в t раз, чем длина вектора \(\vec{a} \).
Размерность вектора \(\vec{a} \cdot t\) будет совпадать с размерностью скорости. А это значит, что такой вектор с вектором скорости складывать можно.
Примечание: Складывать можно только векторы, которые измеряются в одинаковых единицах, другими словами, размерности которых совпадают! Мы можем Ньютоны складывать с Ньютонами, метры в секунду складывать с метрами в секунду и т. д.
Нам известны направления векторов \(\vec{v_{0}}\) и \(\vec{a} \cdot t\). Вектор \( \overrightarrow{at} \) сонаправлен с вектором силы \( \vec{F} \) бокового ветра. Сложим векторы геометрически (рис. 3).
Из рисунка видно, что вектор конечной скорости отклонился от первоначального направления на угол \( \alpha\). Направление вектора конечной скорости \( \vec{v} \) совпадает с направлением вектора перемещения \( \vec{S} \) самолета.
Координаты вектора конечной скорости — это сумма координат слагаемых векторов.
\[ \large \begin{cases} v_{x} = v_{0x} +0 \\ v_{y} = 0 + a_{y} \cdot t \end{cases}\]
Окончательно запишем, вектор конечной скорости обладает такими координатами
\[ \large \vec{v} = \left\{ v_{0x} ; a_{y} \cdot t \right\} \]
Координаты вектора перемещения
Найдем теперь координаты вектора перемещения самолета. Графически траекторию движения самолета можно изобразить отрезком параболы, так, как это сделано на рисунке 4.
На рисунке 4 представлены траектория движения – кривая синяя линия и перемещение самолета – вектор AB, обозначенный красным цветом.
Координаты начальной точки A (0 ; 0).
Координаты конечной точки B \( \left( S_{x} ; S_{y} \right) \).
Точка, в которой находился самолет в момент, когда на него подействовала сила ветра, имела координаты (0 ; 0). Это значит, что в нашей задаче вектор перемещения является радиус вектором, его координаты совпадают с координатами его конечной точки B.
Скорость вдоль оси Ox не меняется \( \large v_{x}= v_{0x} \), поэтому вдоль этой оси движение равномерное.
Перемещение самолета для равномерного движения вдоль оси Ox запишем так
\[ \large S_{x} = v_{0x} \cdot t \]
А вдоль оси Oy самолет из начальной точки равноускорено сместится на такую величину
\[ \large S_{y} = v_{0y} \cdot t + a_{y} \cdot \frac{t^{2}}{2} \]
Пользуясь найденными координатами вектора перемещения, найдем его длину
\[ \large \left| \vec{S} \right| = \sqrt{ \left( S_{x} \right)^2 + \left( S_{y} \right)^2} \]
Задача решена. Если будут известны числовые значения начальных данных, ответ можно будет выразить численно.
Загрузка...
