Движение тела на плоскости

В школьной физике в основном рассматривают движение тел вдоль прямой – одномерный случай. Реже — на плоскости, когда для описания координат используем две взаимно перпендикулярные оси «Ox» и «Oy», т. е. двумерный случай движения.

В случае поступательного движения на плоскости, мы раскладываем векторы перемещения, скорости и ускорения на проекции по осям. Каждую проекцию при этом можно рассматривать, как случай одномерного движения отдельного тела. Тогда для каждой оси имеется своя скорость, свое ускорение и свое перемещение этого тела.

Примечания:

  1. Одним из примеров движения в плоскости может служить движение тела под действием силы тяжести. В этом случае плоскость, по которой движется тело, будет располагаться вертикально.
  2. Еще один пример: Заряженная частица влетела в магнитное поле, перпендикулярно вектору магнитной индукции. Движение частицы, также, будет происходить в плоскости.

Перемещение, скорость и ускорение на плоскости

Опишем движение материальной точки на плоскости. В процессе движения изменяются две координаты – «x» и «y». Перемещение тела для двумерного движения можно разделить на две проекции.

На рисунке 1 точка, в которой тело находилось в начале движения, имеет координаты \(\left( x_{0}; y_{0} \right) \).

Конечная точка, в которую тело сместилось в процессе движения, имеет координаты \(\left( x; y \right) \).

Серая линия – это траектория тела, а вектор перемещения тела обозначен красным цветом.

Тело перемещается из одной точки в другую точку на плоскости
Рис. 1. Тело сместилось из одной точки на плоскости в другую точку

Разложим вектор перемещения на проекции по осям:

\[ \large  \begin{cases} S_{x} = x — x_{0} \\ S_{y} = y — y_{0} \end{cases}\]

А после запишем координаты вектора перемещения

\[ \large \vec{S}=\left\{ S_{x}; S_{y} \right\}  \]

Пользуясь известными проекциями на плоскости, мы можем посчитать модуль вектора перемещения:

\[ \large \left| \vec{S} \right| = \sqrt{ \left( S_{x} \right)^2 + \left( S_{y} \right)^2} \]

На перемещение тела было затрачено время t. По известному перемещению мы можем найти скорости и ускорения тела.

Векторы скорости и ускорения тела на плоскости будут иметь две координаты

\[ \large \vec{v}=\left\{ v_{x}; v_{y} \right\}  \]

\[ \large \vec{a}=\left\{ a_{x}; a_{y} \right\}  \]

Физический смысл производной

Этот смысл применяется не только для движения на плоскости, а вообще, к любому движению.

Скорость – это первая производная вектора перемещения, взятая по времени

\[ \large \boxed { \frac{d\vec{S}}{dt} = \vec{v} }\]

Запись читается, как «дэ эс по дэ тэ равно вэ».

Ускорение – это вторая производная вектора перемещения, взятая по времени

\[ \large \boxed {\frac{d^{2}\vec{S}}{dt^{2}} = \vec{a} }\]

Эта запись читается, как «дэ два эс по дэ тэ дважды равно а».

Также, ускорение – это первая производная скорости по времени

\[\large \boxed{\frac{d\vec{v}}{dt} =\vec{a}}\]

Примечание: Словосочетание «физический смысл производной» следует понимать, как «что такое производная с точки зрения физики»

Перемещение самолета при боковом ветре

Найдем теперь перемещение тела, движущегося в горизонтальной плоскости.

Для решения задачи будем применять законы Ньютона, формулы кинематики и правила сложения векторов.

В горизонтальной плоскости летит самолет. Он движется по прямой с неизменной скоростью \(\vec{v_{0x}}\), масса самолета \(m\). В некоторый момент времени подул ветер, перпендикулярно направлению, в котором движется самолет. Порыв ветра длился t секунд. Сила ветра, действующая на самолет, постоянная и равна \(\vec{F}\). Найти координаты вектора конечной скорости самолета и перемещение самолета к тому моменту, когда ветер прекратился.

Решение задачи

Составим рисунок, на нем отметим векторы скорости самолета, силу воздействия на самолет и проведем оси. Координатные оси лежат в горизонтальной плоскости. Будем считать, что сила начала действовать на самолет в начальный момент времени \(t_{0} = 0 \) секунд.

На рисунке изображены векторы скорости самолета и силы воздействия бокового ветра
Рис. 2. В горизонтальной плоскости проведены оси, вектор скорости самолета и вектор силы бокового воздействия на самолет

На рисунке 2 изображены векторы скорости самолета и силы воздействия бокового ветра.

Координаты вектора ускорения

В условии задачи написано, что на самолет действует боковая сила \(\vec{F}\). Используем ее, чтобы записать силовое уравнение для оси Oy:

\[ \large F = m \cdot a_{y} \]

По второму закону Ньютона, когда ускорение есть, скорость тела будет изменяться. \(a_{y}\) – это проекция ускорения, приобретенного самолетом, она сонаправлена с вектором силы. То есть, направлена вдоль оси Oy. Выразим это ускорение из силового уравнения:

\[ \large \frac{F}{m} = a_{y} \]

По условию, вдоль оси Ox самолет движется с неизменной скоростью. Из первого закона Ньютона следует, что силы, действующие на самолет вдоль оси Ox, скомпенсированы. Значит, ускорения, направленного вдоль оси Ox, нет.

\[ \large a_{x} = 0 \]

Таким образом, координаты вектора ускорения самолета будут иметь вид:

\[ \large \vec{a}=\left\{ 0; a_{y} \right\}  \]

Координаты вектора скорости

Зная ускорение, мы можем составить уравнения для скорости тела.

В начальный момент времени скорость имеет такие координаты:

\[ \large \vec{v_{0}}=\left\{ v_{0x}; 0 \right\}  \]

Вектор скорости изменится благодаря наличию вектора ускорения. В конечной точке траектории скорость будет иметь координаты, отличные от начальных:

\[ \large \vec{v}=\left\{ v_{x}; v_{y} \right\}  \]

Найдем координаты вектора конечной скорости. Конечная скорость будет больше начальной, значит, движение равноускоренное.

Запишем в векторном виде связь между начальной и конечной скоростью

\[ \large \vec{v}= \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \]

В это уравнение входит вектор \(\vec{a} \cdot t\). Его получили путем умножения вектора на скаляр. Вектор \(\vec{a} \cdot t\) сонаправлен с вектором \(\vec{a} \), но длина его больше в t раз, чем длина вектора \(\vec{a} \).

Размерность вектора \(\vec{a} \cdot t\) будет совпадать с размерностью скорости. А это значит, что такой вектор с вектором скорости складывать можно.

Примечание: Складывать можно только векторы, которые измеряются в одинаковых единицах, другими словами, размерности которых совпадают! Мы можем Ньютоны складывать с Ньютонами, метры в секунду складывать с метрами в секунду и т. д.

Нам известны направления векторов \(\vec{v_{0}}\) и \(\vec{a} \cdot t\). Вектор \( \overrightarrow{at} \) сонаправлен с вектором силы \( \vec{F} \) бокового ветра. Сложим векторы геометрически (рис. 3).

Движение равноускоренное, конечная скорость больше начальной, вектор конечной скорости отклонился от первоначального направления на некоторый угол
Рис. 3. Вектор конечной скорости отклонился от первоначального направления на некоторый угол, движение равноускоренное, конечная скорость больше начальной

Из рисунка видно, что вектор конечной скорости отклонился от первоначального направления на угол \( \alpha\). Направление вектора конечной скорости \( \vec{v} \) совпадает с направлением вектора перемещения \( \vec{S} \) самолета.

Координаты вектора конечной скорости — это сумма координат слагаемых векторов.

\[ \large  \begin{cases} v_{x} = v_{0x} +0 \\ v_{y} = 0 + a_{y} \cdot t \end{cases}\]

Окончательно запишем, вектор конечной скорости обладает такими координатами

\[ \large  \vec{v} =  \left\{ v_{0x} ; a_{y} \cdot t \right\} \]

Координаты вектора перемещения

Найдем теперь координаты вектора перемещения самолета. Графически траекторию движения самолета можно изобразить отрезком параболы, так, как это сделано на рисунке 4.

Красный цветом обозначен вектор перемещения, а синей кривой - отрезком параболы, изображена траектория
Рис. 4. Траектория движения самолета — отрезок параболы, красный цветом обозначен вектор перемещения

На рисунке 4 представлены траектория движения – кривая синяя линия и перемещение самолета – вектор AB, обозначенный красным цветом.

Координаты начальной точки A (0 ; 0).

Координаты конечной точки B \( \left( S_{x} ; S_{y} \right) \).

Точка, в которой находился самолет в момент, когда на него подействовала сила ветра, имела координаты (0 ; 0). Это значит, что в нашей задаче вектор перемещения является радиус вектором, его координаты совпадают с координатами его конечной точки B.

Скорость вдоль оси Ox не меняется \( \large v_{x}= v_{0x} \), поэтому вдоль этой оси движение равномерное.

Перемещение самолета для равномерного движения вдоль оси Ox запишем так

\[ \large S_{x} = v_{0x} \cdot t \]

А вдоль оси Oy самолет из начальной точки равноускорено сместится на такую величину

\[ \large S_{y} = v_{0y} \cdot t + a_{y} \cdot \frac{t^{2}}{2} \]

Пользуясь найденными координатами вектора перемещения, найдем его длину

\[ \large \left| \vec{S} \right| = \sqrt{ \left( S_{x} \right)^2 + \left( S_{y} \right)^2} \]

Задача решена. Если будут известны числовые значения начальных данных, ответ можно будет выразить численно.

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector