Как составить силовые уравнения

В задачах динамики учитывают силы, действующие на тело. Векторы сил могут действовать в различных направлениях. Большинство школьных задач можно решить, располагая векторы сил в одной плоскости. Поэтому, в статье будем рассматривать векторы, лежащие в одной плоскости — компланарные векторы.

Что такое равнодействующая

Равнодействующий вектор – это вектор, который мы получаем, когда складываем несколько векторов сил.

Результат сложения может дать:

  1. вектор, имеющий длину,
  2. или вектор, не имеющий длины.

Примечание: Когда у вектора отсутствует длина, говорят, что вектор равен нулю. На рисунке нулевой вектор можно изобразить одной точкой. Длины у точки нет – т. е. длина нулевая, а направление может быть любым.

Длина вектора содержит сумму квадратов всех его проекций на оси.

В частности, для вектора ускорения \(\vec{a}\), лежащего на плоскости xOy, длина вычисляется так

\[ \large \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \]

Где \( a_{x} \) и \( a_{y} \) — это проекции вектора (ссылка) \( \vec{a} \) на оси Ox и Oy.

Когда вектор равен нулю, равна нулю каждая его проекция на осях.

Длина вектора отлична от нуля, когда хотя бы одна его проекция ненулевая.

Прочитайте подробнее о параметрах векторов.

Левая часть силового уравнения

В левой части силового уравнения записываем силы, действующие на тело.

Когда векторы сил направлены вдоль параллельных прямых, проводим на рисунке одну ось. Если векторы сил не параллельные, проводим две оси на плоскости. Раскладываем векторы на проекции по осям. Для каждой оси составляем отдельное уравнение. Количество уравнений совпадает с количеством осей.

Если сила сонаправлена с осью, то она войдет в левую часть уравнения со знаком «+», а если она направлена против оси — то со знаком «минус».

Правая часть силового уравнения

В правой части уравнения записываем равнодействующую. В задаче может присутствовать несколько осей, вдоль каждой оси направляем отдельную проекцию равнодействующей.

Примечание: Тело может вдоль одной оси двигаться с ускорением, а вдоль другой оси двигаться без ускорения, или, вообще, покоиться. Например, тело может двигаться по вертикали под действием силы тяжести, а по горизонтали при этом не смещаться.

Когда проекция равнодействующей вдоль какой-либо оси не равна нулю, тело по оси будет двигаться с ускорением. Это следует из второго закона Ньютона.

Тогда в правой части уравнения запишем:

  • \(ma\), если ускорение направлено туда же, куда направлена ось;
  • \(- ma\), если ускорение направлено противоположно оси;

А когда проекция равнодействующей на ось нулевая, ускорение вдоль оси отсутствует. Тогда вдоль этой оси тело движется с неизменной скоростью, или же, вдоль этой оси движение отсутствует. Это следует из первого закона Ньютона.

В правой части уравнения запишем ноль (0 = ускорения нет).

Векторы сил параллельны

В случае, когда векторы направлены вдоль одной прямой, достаточно выбрать и провести единственную ось.

Выясним, как выглядит силовое уравнение для задачи, в которой векторы сил направлены вдоль единственной оси. Например, парашютист спускается вертикально вниз (рис. 1) на парашюте под действием силы тяжести.

Движение, при котором силы, действующие на тело, направлены вдоль одной оси
Рис. 1. Парашютист спускается на парашюте, векторы сил направлены вдоль единственной оси

Проведем на рисунке ось, направим ее вверх.

Примечание: Мы можем направить ось вниз, если захотим. При таком направлении оси знаки проекций векторов изменятся на противоположные, но на конечный ответ это никак не повлияет.

Составим левую часть уравнения. В левой части мы запишем силы, действующие на парашютиста:

\[\large F_{\text{сопр}} — m \cdot g \]

Сила \( F_{\text{сопр}}\) направлена по оси, поэтому войдет в уравнение со знаком «+». А сила \( m \cdot g \) вошла в уравнение со знаком «минус», так как направлена против оси.

В правую часть уравнения поместим равнодействующую.

Размеры парашюта рассчитаны так, что парашютист опускается вниз с постоянной (неизменной, т. е. одной и той же) скоростью. Значит, скорость есть, она не меняется, ускорения нет.

Математики запишут, что ускорение есть, но оно – нулевое \(\vec{a}=0\).

То есть, вдоль вертикальной оси тело движется без ускорения, значит, силы компенсировались. По первому закону Ньютона, равнодействующая равна нулю и, в правой части уравнения запишем ноль.

Примечания:

  1. На рисунке 1 скорость обозначена красным вектором, направленным вниз и обозначенным, как \(\vec{v_{0}}\). Обычно математики дописывают нижний индекс к величине, которая не должна меняться. Так как у вектора скорости этот индекс есть, скорость считаем неизменной.
  2. На рисунке векторы скоростей и ускорений нужно рисовать отдельно от векторов сил! Решая задачу, мы будем складывать векторы (ссылка), имеющие одинаковую размерность. Силы измеряют в Ньютонах, поэтому их можно складывать. А ускорения и скорости измеряют в других единицах, с Ньютонами их сложить не получится. Именно поэтому, чтобы не запутаться, ускорения и скорости рисуем на небольшом расстоянии от тела, отдельно от векторов сил.

Итоговое силовое уравнение имеет вид:

\[\large F_{\text{сопр}} — m \cdot g = 0 \]

Зная массу парашютиста, можно вычислить силу сопротивления воздуха. А зная эту силу, можно рассчитать и размеры парашюта.

Векторы сил не параллельны

Когда векторы направлены вдоль разных прямых, будем проводить две взаимно перпендикулярные оси на плоскости.

Разберем задачу равнозамедленного движения тела по горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 2).

Движение, при котором сила трения вызывает замедление двигающегося горизонтально тела
Рис. 2. Равнозамедленное движения тела по горизонтальной шероховатой поверхности

Поверхность шероховатая, это намек на то, что есть сила трения. А если в условии напишут, что поверхность гладкая, значит, силы трения нет.

Движение равнозамедленное (ссылка), значит, скорость тела уменьшается и есть вектор ускорения, который направлен против вектора скорости.

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси. Ось Ox проведем горизонтально, а ось Oy – вертикально. Рассмотрим оси и проекции векторов на них по очереди.

Горизонтальная ось. Пусть движение тела происходит в положительном направлении оси Ox. Сила трения всегда направлена против движения, поэтому направим ее влево. Скорость тела направлена вправо и будет уменьшаться, значит, ускорение, так же, направим влево. Вектор ускорения рисуем отдельно от векторов сил.

Наличие ускорения говорит о том, что вдоль оси Ox равнодействующая имеет не нулевую проекцию. Ускорение направлено против оси, запишем \(- ma\) в правой части уравнения.

Так выглядит уравнение для горизонтальной оси

\[\large -F_{\text{трен}}  = -m \cdot a_{x} \]

Вертикальная ось. Вниз направлена сила тяжести, а вверх – сила реакции опоры. Так как поверхность горизонтальная и тело не движется ни вверх, ни вниз, то движения вдоль оси Oy нет. Значит, сила тяжести и реакция опоры компенсировались и нет ускорения вдоль оси Oy. В правой части уравнения для вертикальной оси запишем ноль.

Для вертикальной оси уравнение выглядит так:

\[\large N — m \cdot g = 0 \]

Система, пригодная для решения задачи, состоит из двух уравнений

\[ \large \boxed{ \begin{cases} -F_{\text{трен}}  = -m \cdot a_{x} \\ N — m \cdot g = 0 \end{cases} } \]

Куда направить оси

Разберем равнозамедленное движение тела вверх по наклонной шероховатой плоскости (рис. 3).

Силы, действующие на тело в этой задаче, не параллельные, направлены вдоль разных прямых. Поэтому для составления уравнений нужно использовать две взаимно перпендикулярные оси. Попробуем для начала провести ось Oy вертикально, а ось Ox горизонтально.

Выбор осей произведен так, что большая часть векторов не лежит на осях, такие векторы придется раскладывать на проекции, чтобы составить силовые уравнения
Рис. 3. Большая часть векторов не лежит на осях, такие векторы придется раскладывать на проекции, чтобы составить силовые уравнения

Из рисунка 3 видно, вдоль оси направлен только один вектор \(mg\). Остальные векторы сил не параллельны ни одной из осей. Такие векторы придется раскладывать на проекции, это усложнит конечную систему уравнений.

Если выберем оси так, как показано на рисунке 3, на проекции нужно будет разложить три вектора.

Попробуем теперь провести оси так, чтобы как можно большее количество векторов оказались параллельными осям (рис. 4). Из рисунка видно, что только один вектор \(mg\) окажется ненаправленным вдоль какой-либо оси. Остальные векторы сил параллельны осям.

Выбор осей произведен так, что большая часть векторов лежит на осях, раскладывать на проекции нужно только один вектор, силовые уравнения будут иметь простой вид
Рис. 4. Большая часть векторов лежит на осях, раскладывать на проекции нужно только один вектор, силовые уравнения будут иметь простой вид

При таком выборе осей раскладывать на проекции придется только один вектор. Это позволит быстрее решить задачу и решать более простые уравнения.

Примечание: Если мы выбререм оси так, как это представлено на рисунке 3, получим более сложные уравнения. Но решив их, мы получим точно такой же ответ, как и в случае выбора осей на рисунке 4.

Выводы:

  1. Выбор осей на конечный результат не влияет! А влияет только на сложность полученных уравнений.
  2. Оси проводим так, чтобы как можно больше векторов оказались направленными вдоль осей.

Движение по наклонной плоскости

Составим систему уравнений для решения такой задачи:

Велосипедист подъезжает с начальной скоростью к подъему, посыпанному песком и, едет в гору на велосипеде по инерции, не крутя педали. Масса велосипедиста с велосипедом, начальная скорость его, коэффициент сопротивления поверхности и угол наклона известны.

Нужно составить систему силовых уравнений, чтобы найти ускорение велосипедиста. А после, зная начальную скорость и ускорение, найти путь, который велосипедист сможет проехать по инерции в горку.

Выражение для ускорения

Составим рисунок, на котором изобразим силы, действующие на велосипедиста (рис. 5)

Велосипедист едет в гору по инерции, отмечены силы, действующие на велосипедиста
Рис. 5. Велосипедист едет в гору по инерции, отмечены силы, действующие на велосипедиста, видно, что при таком выборе осей необходимо разложить вектор mg на проекции

Мы провели оси так, чтобы пришлось разложить на проекции только один вектор и система силовых уравнений оказалась достаточно простой.

Пользуясь осями координат, составляем теперь уравнения в проекциях.

Уравнение для проекций векторов на ось Ox:

\[ \large — F_{\text{трен}} – m \cdot g_{x} = — m \cdot a \]

Уравнение для проекций векторов на ось Oy:

\[ \large N – m \cdot g_{y} = 0 \]

Разложим теперь силу тяжести — вектор \(mg\) на проекции. Чтобы проделать это разложение, нужно отметить угол \(\alpha \) межу вектором \(mg\) и одной из осей. В нашем случае, это угол между вектором \(mg\) и осью Oy.

\[ \large \begin{cases} m \cdot g_{y} = mg \cdot cos \left(\alpha \right)  \\ m \cdot g_{x} = mg \cdot sin \left(\alpha \right) \end{cases} \]

Подставив разложение вектора \(mg\) в уравнения для осей, получим такую систему уравнений

\[ \large \begin{cases} — F_{\text{трен}} – mg \cdot sin \left(\alpha \right)  = — m \cdot a \\ N – mg \cdot cos \left(\alpha \right) = 0 \end{cases} \]

Дополним эту систему выражением для силы трения.

\[ \large F_{\text{трен}} = \mu \cdot N \]

Запишем эти уравнения в систему и выразим из нее уравнение для ускорения.

\[ \large \begin{cases} N = mg \cdot cos \left(\alpha \right) \\ F_{\text{трен}} = \mu \cdot mg \cdot cos \left(\alpha \right) \\ \mu \cdot mg \cdot cos \left(\alpha \right) + mg \cdot sin \left(\alpha \right)  = m \cdot a \end{cases} \]

Поделим нижнее уравнение системы на массу велосипедиста и запишем окончательно уравнение для ускорения:

\[ \large \mu \cdot g \cdot cos \left(\alpha \right) + g \cdot sin \left(\alpha \right)  = a \]

Выражение для пройденного пути

Запишем выражения для связи скоростей и пройденного пути. Велосипедист движется по инерции в гору и его скорость уменьшается из-за силы тяжести и силы сопротивления поверхности, посыпанной песком. Когда скорость велосипедиста обратится в ноль, он, проехав часть пути в гору, остановится. Используем систему двух уравнений, она описывает путь при учете уменьшения скорости до нуля:

\[ \large \begin{cases} 0  = v_{0} — a \cdot t \\ S  = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} \]

Получим теперь уравнение для пути, в котором будут присутствовать только начальная скорость и ускорение и, будет отсутствовать время.

\[ \large \begin{cases} t = \frac{v_{0}}{a} \\ S  = v_{0} \cdot \frac{v_{0}}{a}  — a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{v_{0}}{a} \cdot \frac{v_{0}}{a} \end{cases} \]

Упрощенная система для решения задачи теперь включает всего два уравнения

\[ \large \begin{cases} \mu \cdot g \cdot cos \left(\alpha \right) + g \cdot sin \left(\alpha \right)  = a \\ S  = v_{0} \cdot \frac{v_{0}}{a}  — \frac{v_{0}}{2} \cdot \frac{v_{0}}{a} \end{cases} \]

Подставив в эту систему известные значения начальной \(v_{0}\) скорости велосипедиста, коэффициент  \(\mu\) сопротивления поверхности и угол \(\alpha\) наклона плоскости, сможем посчитать путь, пройденный велосипедистом до его полной остановки.

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector