Первая космическая скорость – это скорость, с которой спутник движется вокруг планеты по круговой орбите, не удаляясь от планеты и не падая на нее.
То есть, для первой космической скорости орбита — это окружность. Расстояние от центра планеты до спутника равно \( R = \left( r + h \right) \). Это представлено на рисунке 1.
Формула для вычисления первой космической скорости
Первую космическую скорость можно посчитать по формуле:
\[ \large \boxed { |v| = \sqrt{G \cdot \frac{M}{r + h}} }\]
\( v \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \) (метры в секунду) – первая космическая скорость
\( M \left( \text{кг} \right) \) (килограммы) — масса планеты, вокруг которой движется спутник
\( r \left( \text{м} \right) \) (метры) – радиус планеты
\( h \left( \text{м} \right) \) (метры) — расстояние от поверхности планеты до спутника
\(G \ = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \left( \text{Н} \cdot \frac{\text{м}^2}{\text{кг}^2} \right)\) — гравитационная постоянная
Первая космическая скорость в цифрах для некоторых небесных тел
первая космическая скорость у поверхности Земли \( v = 8000 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)
первая космическая скорость у поверхности Солнца \( v = 437000 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)
первая космическая скорость у поверхности Луны \( v = 1680 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)
первая космическая скорость у поверхности Марса \( v = 3530 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)
Как выводится формула первой космической скорости
Рассмотрим движение спутника вокруг Земли.
Земля и спутник притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и спутником
\[ F = G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} \]
При круговом движении на спутник действует центростремительная сила (как и на любое тело при таком движении).
\[ F_{\text{ц}} = m \cdot \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)} \]
Мы можем записать эти уравнения в виде системы.
\[ \begin{cases} \displaystyle F = G\cdot \frac {m \cdot M}{(r+h)^{2}} \\ \displaystyle F_{\text{ц}} = m \cdot \frac {v^{2}}{(r+h)} \\ \end{cases} \]
Земля и спутник притягиваются, благодаря этому спутник движется вокруг Земли по круговой орбите. Значит, притяжение между спутником и Землей – это центростремительная сила. Именно она заставляет спутник двигаться вокруг планеты по окружности. На языке математики это запишется так:
\[ F = F_{\text{ц}} \]
А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:
\[ G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} = m \cdot \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)} \]
Масса \( m \) спутника и расстояние \( R \) между телами встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу спутника.
\[ G \cdot \frac{M}{ \left( r + h \right)^{2}} = \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)} \]
Теперь умножим обе части уравнения на расстояние \(\left( r + h \right) \). Получим:
\[ G \cdot \frac{M}{\left( r + h \right)} = v^{2} \]
Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения, чтобы получить скорость:
\[ \sqrt{G \cdot \frac{M}{\left( r + h \right)}} = |v| \]
Все)
Вам будет интересно почитать:
Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение
Вторая космическая скорость
Загрузка...
