Первая космическая скорость

Первая космическая скорость – это скорость, с которой спутник движется вокруг планеты по круговой орбите, не удаляясь от планеты и не падая на нее.

То есть, для первой космической скорости орбита — это окружность. Расстояние от центра планеты до спутника равно \( R = \left( r + h \right) \). Это представлено на рисунке 1.

Схема: Спутник вращается вокруг планеты, орбита спутника – окружность
Рис. 1. Спутник (черная точка), вращается вокруг планеты (центральная окружность) по круговой орбите (пунктир).

Формула для вычисления первой космической скорости

Первую космическую скорость можно посчитать по формуле:

\[ \large \boxed { |v| = \sqrt{G \cdot \frac{M}{r + h}} }\]

\( v \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \) (метры в секунду) – первая космическая скорость

\( M \left( \text{кг} \right) \) (килограммы) — масса планеты, вокруг которой движется спутник

\( r \left( \text{м} \right) \) (метры) – радиус планеты

\( h \left( \text{м} \right) \) (метры) — расстояние от поверхности планеты до спутника

\(G \ = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \left( \text{Н} \cdot \frac{\text{м}^2}{\text{кг}^2} \right)\) — гравитационная постоянная

Первая космическая скорость в цифрах для некоторых небесных тел

первая космическая скорость у поверхности Земли  \( v = 8000 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Солнца \( v = 437000 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Луны \( v = 1680 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)

первая космическая скорость у поверхности Марса \( v = 3530 \left( \frac{\text{м}}{\text{c}} \right) \)

Как выводится формула первой космической скорости

Рассмотрим движение спутника вокруг Земли.

Земля и спутник притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и спутником

\[  F = G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} \]

При круговом движении на спутник действует центростремительная сила (как и на любое тело при таком движении).

\[  F_{\text{ц}} = m \cdot \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)} \]

Мы можем записать эти уравнения в виде системы.

\[ \begin{cases} \displaystyle F = G\cdot \frac {m \cdot M}{(r+h)^{2}} \\ \displaystyle F_{\text{ц}} = m \cdot \frac {v^{2}}{(r+h)} \\ \end{cases} \]

Земля и спутник притягиваются, благодаря этому спутник движется вокруг Земли по круговой орбите.  Значит, притяжение между спутником и Землей – это центростремительная сила. Именно она заставляет спутник двигаться вокруг планеты по окружности. На языке математики это запишется так:

\[  F = F_{\text{ц}} \]

А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:

\[  G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} = m \cdot \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)}  \]

Масса \( m \) спутника и расстояние \( R \) между телами встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу спутника.

\[  G \cdot \frac{M}{ \left( r + h \right)^{2}} = \frac{v^{2} }{\left( r + h \right)} \]

Теперь умножим обе части уравнения на расстояние \(\left( r + h \right) \). Получим:

\[  G \cdot \frac{M}{\left( r + h \right)} = v^{2} \]

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения, чтобы получить скорость:

\[ \sqrt{G \cdot \frac{M}{\left( r + h \right)}} = |v| \]

Все)

 

Вам будет интересно почитать:

Закон всемирного тяготения

Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение

Ускорение свободного падения

Вторая космическая скорость

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector