Рычаг, условие равновесия

К рычагу можно прикладывать две, или даже, несколько сил. В некоторых случаях рычаг остается неподвижным, то есть, находится в равновесии. Сформулируем условия, при которых  рычаг, находящийся под действием нескольких сил, находится в равновесии.

Формула для условия равновесия рычага

Сумма вращательных моментов всех сил, приложенных к рычагу, должна равняться нулю.

На языке математики, это условие записывают так:

\[\large \boxed { M_{1} + M_{2} + M_{3} + \ldots + M_{n}= 0 } \]

Пояснение к формуле:

Для сил, вращающих рычаг в различные стороны, моменты будут иметь различные знаки. Поэтому, каждый вращательный момент в уравнение нужно подставлять со своим знаком!

Кратко условие знаков для моментов можно сформулировать так:

различные направления – разные знаки.

Например, если сила вращает рычаг по часовой стрелке, ее момент имеет знак «плюс», а если против часовой стрелки – то знак «минус».

Можно условиться наоборот: для сил, вращающих по часовой стрелке – знак «минус», а против часовой – знак «плюс». Главное, чтобы выполнялось условие: разные направления – разные знаки.

Советую освежить в памяти основные понятия о моменте силы. Для этого прочитайте такую статью (откроется в новой вкладке).

Для чего применяют рычаг

Рычаг позволяет поднимать или сдвигать тяжелые предметы с помощью малых сил.

То есть, рычаг помогает получить выигрыш в силе. Благодаря этому свойству мы часто пользуемся рычагами.

Однако, нужно помнить, что выигрыш в работе мы не получим, так как работу за нас рычаг не выполнит.

Поэтому, во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Примечание:

Если совсем упростить, то работа – это сила, умноженная на расстояние.

Рычаги широко используют в технике. Нередко, в различных механических устройствах используются изогнутые рычаги, например, Г-образные.

Каким бы ни был рассматриваемый рычаг – прямым, или изогнутым, общий алгоритм для расчета его равновесия будет неизменным.

Алгоритм расчета для рычага, находящегося в равновесии

Решаем задачу, связанную с моментами двух сил, приложенных к рычагу.

1). Обращаем внимание на три точки:

  • точку приложения первой силы,
  • точку, к которой приложена вторая сила
  • и, точку, через которую проходит ось вращения.

2). Ищем прямые углы между силами и расстояниями. Если какой-либо угол отличается от прямого, раскладываем либо силу, либо расстояние от точки приложения силы до оси вращения.

3). Составляем по одному уравнению для каждого вращательного момента.

Как рассчитать вращательный момент, написано здесь (откроется в новой вкладке)

4). Все моменты сил суммируем между собой. Напоминаю, что каждый момент силы записываем со своим знаком в левую часть уравнения для суммы моментов. Когда рычаг находится в равновесии, правая часть этого уравнения равна нулю.

Примечание:

Если к рычагу прикладывают больше двух сил, алгоритм расчетов аналогичен. С той лишь разницей, что нужно будет рассчитать большее количество вращательных моментов и записать их со своими знаками в общее уравнение для условия равновесия.

Примеры расчетов для рычага, находящегося в равновесии

Рассмотрим несколько случаев равновесия рычага, на который действуют две силы.

Во всех случаях условимся, что:

  1. силы прикладываются к различным точкам рычага;
  2. точки приложения сил не совпадают с точкой рычага, через которую проходит ось вращения.

Рычаг горизонтальный, силы перпендикулярны, ось вращения находится между точками приложения двух сил

Такое приложение сил применяют в рычажных весах, или башенном подъемном кране

Вокруг красной точки (рис. 1) рычаг может вращаться, так как через нее, в направлении «от нас», проходит ось вращения.

Пояснение к словам «через красную точку, в направлении «от нас», проходит ось вращения»: Если деревянный рычаг приложить к стене, то ось вращения – это гвоздь, забитый в красную точку.

К горизонтальному рычагу прикладывают две силы перпендикулярно, ось вращения - между точками приложения сил
Рис. 1. К горизонтальному рычагу перпендикулярно приложены две силы, ось вращения находится между точками приложения сил

Нас интересует два отрезка рычага:

  • расстояние от силы \(F_{1}\) до оси вращения (красной точки). Это расстояние на рисунке обозначено \(d_{1}\);
  • и расстояние от силы \(F_{2}\) до красной точки. На рисунке оно обозначено \(d_{2}\);

Каждая сила приложена перпендикулярно рычагу, расположенному горизонтально. Поэтому, расстояние \(d_{1}\) – это плечо силы \(F_{1}\) , а расстояние \(d_{2}\) являются плечом силы \(F_{2}\).

Запишем вращательные моменты этих сил.

\(M_{1} = F_{1} \cdot d_{1}\)

\(M_{2} = F_{2} \cdot d_{2}\)

Запишем условие равновесия рычага:

\(M_{1} + M_{2} = 0\)

Сила \(F_{2}\) относительно красной точки вращает рычаг по часовой стрелке. Условимся моменты этой силы считать положительным.

А сила \(F_{1}\) будет вращать рычаг относительно красной точки против часовой стрелки, поэтому, ее момент будем считать отрицательным.

Теперь подставим знаки моментов в условие равновесия:

\[-M_{1} + M_{2} = 0\]

Это уравнение можно записать в развернутом виде

\( — F_{1} \cdot d_{1} + F_{2} \cdot d_{2} = 0\) – условие равновесия для рычага из рис. 1.

Рычаг горизонтальный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

Не всегда силу прикладывают под прямым углом к рычагу. На рисунке 2 изображен горизонтальный рычаг, одна из сил приложена к нему под углом, не равным 90 градусам.

К горизонтальному рычагу прикладывают две силы, одну перпендикулярно, другую – под тупым углом, ось вращения - между точками приложения сил
Рис. 2. К горизонтальному рычагу приложены две силы, ось вращения находится между точками приложения сил, одна из сил приложена перпендикулярно, другая – под тупым углом

Чтобы записать условие равновесия рычага, разложим (рис. 3) на проекции силу \(F_{1}\) и возьмем ту ее часть, которая будет располагаться перпендикулярно расстоянию \(d_{1}\).

К горизонтальному рычагу одна из сил приложена под тупым углом, разложим ее и используем часть силы, перпендикулярную рычагу
Рис. 3. Одна из сил приложена под тупым углом к горизонтальному рычагу, разложив ее, возьмем часть, перпендикулярную рычагу

Для разложения силы \(F_{1}\) удобно заменить угол, обозначенный одной дугой, на угол, обозначенный на рисунке 3 двумя дугами. Будем обозначать угол, обозначенный двумя дугами символом \(\gamma)\.

Тогда

\[ \begin{cases} F_{1} \cdot cos(\gamma) = F_{1s} \\ F_{1} \cdot sin(\gamma) = F_{1t} \end{cases} \]

Примечание:

Просто и доступно о разложении вектора на проекции написано тут (откроется в новой вкладке).

 

Для записи момента \( M_{1} \) выберем перпендикулярную рычагу силу \( F_{1t}\).

\(M_{1} = F_{1t} \cdot d_{1}\)

\(M_{2} = F_{2} \cdot d_{2}\)

Вспомним о том, что противоположные направления вращения обозначают противоположными знаками

\[-M_{1} + M_{2} = 0\]

В развернутом виде условие равновесия для рисунка 3 выглядит так:

\( — F_{1t} \cdot d_{1} + F_{2} \cdot d_{2} = 0\)

Или так:

\( F_{2} \cdot d_{2} = F_{1t} \cdot d_{1} \)

Рычаг наклонный, раскладываем силу, приложенную под непрямым углом

В некоторых задачах рассматривают равновесие рычага, находящегося под наклоном к горизонтали (рис. 4).

К наклонному рычагу одна из сил приложена под тупым углом, разложим ее и используем часть силы, перпендикулярную рычагу
Рис. 4. Одна из сил приложена под тупым углом к наклонному рычагу, разложим ее, и используем для вычисления вращательного момента часть, перпендикулярную рычагу

Здесь сила \(F_{2}\) приложена к рычагу под прямым углом, а угол между силой \(F_{1}\) и рычагом, отличается от прямого.

Разложим силу \(F_{1}\) на части и выберем для вычисления вращательного момента часть силы, расположенную перпендикулярно рычагу. Для разложения используем угол, обозначенный на рисунке 4 одной дугой и символом \(\alpha)\.

\[ \begin{cases} F_{1} \cdot cos(\alpha) = F_{1s} \\ F_{1} \cdot sin(\alpha) = F_{1t} \end{cases} \]

Вращательные моменты сил \(F_{1t}\) и \(F_{2}\):

\(M_{1} = F_{1t} \cdot d_{1}\)

\(M_{2} = F_{2} \cdot d_{2}\)

Условие равновесия для рисунка 4 в развернутом виде:

\( — F_{1} \cdot sin(\alpha) \cdot d_{1} + F_{2} \cdot d_{2} = 0\)

Рычаг наклонный, раскладываем расстояние

В некоторых задачах (рис. 5) удобнее раскладывать не силу, а расстояние \( d \). На рисунке 5 для вычисления момента силы \(M_{1}\) разложим расстояние \(d_{1}\) между силой \(F_{1}\) и осью вращения (красной точкой).

Подробно о том, как раскладывать расстояние между точкой приложения силы и осью вращения, читайте тут (откроется в новой вкладке).

К наклонному рычагу одна из сил приложена под тупым углом, разложим расстояние d и, используем часть, перпендикулярную силе
Рис. 5. Одна из сил приложена под тупым углом к наклонному рычагу, разложим расстояние d и, используем часть, перпендикулярную силе, для вычисления вращательного момента

Пользуясь рисунком 5, запишем моменты:

\(M_{1} = F_{1} \cdot d_{1t}\)

\(M_{2} = F_{2} \cdot d_{2}\)

Нам указали тупой угол \(\alpha\) между силой и расстоянием от точки приложения силы до оси вращения. Но чтобы разложить \(d_{1}\) на части, удобнее использовать другой угол, смежный с углом \(\alpha\).

Рассмотрим подробнее часть рисунка, на которой отмечены углы (рис. 6)

Два угла образуют развернутый угол. Используем угол, обозначенный двумя дугами, для разложения расстояния на части
Рис. 6. Углы альфа и гамма образуют развернутый угол, угол гамма, обозначенный двумя дугами, используем для разложения расстояния d на перпендикулярную и, параллельную силе части

Из рисунка 6 видно, что углы \(\alpha\) и \(\gamma\) образуют развернутый угол. То есть, сумма углов \(\alpha\)  и \(\gamma\) равна 180 градусам.

\[ \alpha  + \gamma = 180^{o} \]

Синусы таких углов равны.

\[ sin\left(\alpha \right) = sin\left(\gamma \right)\]

Разложим расстояние \(d_{1}\) на перпендикулярную и параллельную силе части, используя вместо угла \(\alpha \) угол \(\gamma\).

\[ \begin{cases} d_{1} \cdot cos(\gamma) = d_{1s} \\ d_{1} \cdot sin(\gamma) = d_{1t} \end{cases} \]

Теперь можно записать условие равновесия для рычага, находящегося на рисунке 5.

\(- M_{1} + M_{2} = 0\)

\( — F_{1} \cdot d_{1t} + F_{2} \cdot d_{2} = 0\)

\( — F_{1} \cdot d_{1} \cdot sin(\gamma) + F_{2} \cdot d_{2} = 0\)

Или, используя угол \(\alpha \):

\[ F_{2} \cdot d_{2} = F_{1} \cdot d_{1} \cdot sin(\alpha) \]

Точки приложения сил находятся по одну сторону от оси вращения

Так прикладывают силы, например, при устройстве шлагбаума.

Обе силы направлены перпендикулярно горизонтальному рычагу и приложены к левой части рычага, то есть, лежат по одну сторону от оси вращения
Рис. 7. К горизонтальному рычагу приложены две силы, они направлены перпендикулярно рычагу и лежат по одну сторону от оси вращения

Из рисунка 7 видно, что силы перпендикулярны рычагу, значит моменты сил выражаются простыми соотношениями:

\(M_{1} = F_{1} \cdot d_{1}\)

\(M_{2} = F_{2} \cdot d_{2}\)

Сила \(F_{2}\) вращает рычаг по часовой стрелке относительно красной точки, поэтому, ее момент считаем положительным. Момент силы \(F_{1}\) отрицателен, так как она вращает рычаг относительно красной точки против часовой стрелки.

Равновесие рычага на рисунке 7 сохраняется, когда выполняется условие:

\(- M_{1} + M_{2} = 0 \)

\(- F_{1} \cdot d_{1} + F_{2} \cdot d_{2} = 0\)

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector