Выберем тело, например, камень. Расположим его не некотором расстоянии от поверхности земли. Расстояние от центра Земли до камня равно \( R = \left( r + h \right) \), как представлено на рисунке 1.

Пусть на камень действует только сила, с которой Земля притягивает его, а других сил нет (нет, например, силы сопротивления воздуха).
Свободное падение – это движение тела под действием только одной силы — силы притяжения.
Из законов Ньютона известно: если на тело действует сила, то тело получает ускорение.
Ускорение свободного падения – это ускорение, с которым движется тело, когда на него действует только сила тяжести.
Формула для расчета ускорения свободного падения
Ускорение свободного падения можно посчитать по формуле:
\[ \large \boxed { g = G \cdot \frac{M}{\left( r + h \right)^{2}} }\]
\( g \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \) (метры, деленные на секунду в квадрате) – ускорение свободного падения
\( M \left( \text{кг} \right) \) (килограммы) — масса планеты, которая притягивает
\( r \left( \text{м} \right) \) (метры) – радиус планеты
\( h \left( \text{м} \right) \) (метры) — расстояние от поверхности планеты до тела
\(G \ = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \left( \text{Н} \cdot \frac{\text{м}^2}{\text{кг}^2} \right)\) — гравитационная постоянная
Интересные факты
У разных планет ускорение свободного падения различается.
- чем больше масса планеты (или звезды), тем больше будет ускорение свободного падения рядом с такой планетой (или звездой);
- чем дальше от планеты, тем меньше ускорение свободного падения;
- на полюсах ускорение свободного падения больше, чем на экваторе планеты;
Важно!
Все тела под действием силы тяжести падают с одинаковым ускорением! Это ускорение не зависит от массы тела.
Из житейского опыта мы знаем: чем больше площадь тела, тем больше времени ему нужно, чтобы упасть с какой-либо высоты. При своем падении тело опирается на воздух, поэтому, к примеру, лист бумаги будет падать дольше, чем шарик из пластилина, или гирька.
В безвоздушном пространстве опираться не на что. Поэтому гирька, лист бумаги, птичье перо и пластилиновый шарик, стартовав с одной и той же высоты одновременно, упадут на поверхность планеты тоже одновременно.
Ускорение свободного падения у поверхности некоторых небесных тел
- у поверхности Земли \( g = 9{,}8 \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \)
- у поверхности Луны \( g = 1{,}68 \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \)
- у поверхности Марса \( g = 3{,}86 \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \)
- у поверхности Солнца \( g = 273{,}1 \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \)
- у поверхности Юпитера \( g = 23{,}95 \left( \frac{\text{м}}{c^{2}} \right) \)
Как вывести формулу ускорения свободного падения
Рассмотрим камень, находящийся на некотором расстоянии от Земли.
Земля и камень притягиваются, запишем закон притяжения между планетой и камнем
\[ F = G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} \]
С другой стороны, у камня есть вес, так как на него действует сила тяжести.
\[ F_{\text{тяж}} = m \cdot g \]
Мы можем записать эти уравнения в виде системы.
\[ \begin{cases} \displaystyle F = G \cdot \frac{m\cdot M}{( r + h)^{2}} \\ \displaystyle F_{\text{тяж}} = m \cdot g \end{cases} \]
Земля и камень притягиваются, благодаря этому на камень действует сила тяжести. На языке математики это запишется так:
\[ F = F_{\text{тяж}} \]
А если равны левые части уравнений, то будут равны и правые:
\[ G \cdot \frac{m\cdot M}{\left( r + h \right)^{2}} = m \cdot g \]
Масса \( m \) камня встречается в обеих частях уравнения. Поделим обе части уравнения на массу камня.
\[ G \cdot \frac{M}{ \left( r + h \right)^{2}} = g \]
Все)
Вам будет интересно почитать:
Законы Ньютона
Вторая космическая скорость