Любое тело, обладающее скоростью, обладает импульсом.
Скорость тела будет меняться, когда на него подействует сила и появится ускорение. Об этом сообщает второй закон Ньютона. А если изменяется скорость тела, то будет изменяться его импульс.
Второй закон Ньютона в импульсной форме описывает изменение импульса тела под действием силы.
Формула второго закона Ньютона в импульсной форме
Импульсная форма записи второго закона выглядит так:
\[ \large \boxed{ \overrightarrow{\Delta p} = \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} } \]
Словами это выражение можно сформулировать так:
\[ \large \boxed { \text {Изменение импульса тела = импульсу силы }} \]
\(\overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c}\right) \) – вектор изменения импульса тела;
\( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \left( H \cdot \text{м} \right) \) – вектор импульса силы;
Слева и справа в формуле находятся два вектора. Так как между ними записан знак равенства, значит у векторов \(\overrightarrow{\Delta p} \) и \( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \) совпадают обе характеристики — направление и длина.
С помощью математики фразу «длины векторов равны» можно записать так:
\( \left| \overrightarrow{\Delta p} \right | = \left| \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \right | \)
Как посчитать длину вектора, и как ее обозначать, читайте тут.
Пояснения и вывод формулы с помощью геометрии
Чтобы получить импульсный вид записи для второго закона, рассмотрим такую задачу.
Представим, что мы склонились над бильярдным столом и смотрим на него сверху. А в это время по столу катится бильярдный шар с какой-то постоянной скоростью.
Примечание: с постоянной скоростью, значит — с одной и той же скоростью. О такой скорости физики часто говорят «с неизменной скоростью», а математики применяют для нее запись \( \vec{v} = const \).
Пусть для определенности масса шара равна двум килограммам.
\( m = 2 \left( \text{кг} \right) \)
Пусть до того, как мы подействовали на шар, он двигался по столу в направлении, указанном на рисунке 1а. Шар вначале движется по горизонтали (рис. 1а), вектор начальной скорости обозначен \( \vec{v_{0}} \).
Подействуем теперь на шар, ударив его кием под углом к начальной скорости. Направление, вдоль которого мы ударили, показано на рисунке 1б с помощью вектора силы \( \vec{F} \) .
После удара шар будет катиться уже не по горизонтали на рисунке. Физики скажут: направление движения шара изменилось. Направление, в котором шар движется после удара, обозначено вектором \( \vec{v} \) на рисунке 2в. Вектор \( \vec{v} \) — конечная скорость шара.
Нам известны начальная и конечная скорости тела, а также, его масса. Мы можем вычислить импульс тела до удара (рис 2а), и после удара (рис 2б).
\( m \cdot \vec{v_{0}} = \vec{p_{0}}\) – импульс тела до удара (начальный);
\( m \cdot \vec{v} = \vec{p}\) – импульс тела после удара (конечный).
Обратите внимание, что у векторов начального импульса \( \vec{p_{0}}\) и начальной скорости \( \vec{v_{0}}\) направления совпадают. Вектор конечного импульса \( \vec{p}\), так же, сонаправлен с вектором \( \vec{v}\) конечной скорости тела.
Для удобства совместим начала векторов \( \vec{p_{0}}\) и \( \vec{p}\) (рис. 3). Зададимся вопросом, как из вектора начального импульса \( \vec{p_{0}}\) получить конечный \( \vec{p}\) вектор?
Очевидно, нужно к вектору \( \vec{p_{0}}\) прибавить еще один вектор. Обозначим этот вектор \( \overrightarrow{\Delta p} \), он представлен на рисунке 4.
Подробнее о том, как складывать векторы, написано тут.
Сумму можно записать так:
\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} \)
Это уравнение записано в векторном виде. Стрелки над символами подчеркивают тот факт, что векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Выразим теперь вектор, обозначенный \( \overrightarrow{\Delta p} \). Для этого, из обеих частей уравнения вычтем вектор \( \vec{p_{0}} \).
\( \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} — \vec{p_{0}} \)
Видно, что вектор \( \overrightarrow{\Delta p} \) – это разница между конечным \( \vec{p} \) и начальным \( \vec{p_{0}} \) векторами импульса тела.
Физики для вектора \( \overrightarrow{\Delta p} \) используют такое название:
\( \overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c} \right) \) – вектор изменения импульса тела.
Рассмотрим теперь совместно векторы \( \overrightarrow{\Delta p} \) и \( \vec{F} \) на одном рисунке (рис. 5).
Направления векторов совпадают, а длина – различается.
Примечание: Математики вместо выражения «длина вектора» употребляют термин «модуль вектора».
Предположим, у нас есть точный хронометр и мы измерили кусочек времени, в течение которого сила действовала на бильярдный шар.
Умножим теперь вектор \( \vec{F} \) на этот промежуток времени \( \Delta t \) — скаляр. Результат умножения представлен на рисунке 6.
Из рисунка 6 видно, что у векторов \(\overrightarrow{\Delta p} \) и \( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \) совпадают не только направления, но и длины.
Если у векторов совпадают обе характеристики, то их можно приравнять. Подробнее о том, какие у векторов есть характеристики, написано тут.
\[ \large \boxed{ \overrightarrow{\Delta p} = \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} } \]
Это выражение называют вторым законом Ньютона, записанным в импульсной форме.
Примечания
1). Сумму векторов
\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} \)
можно теперь переписать в таком виде:
\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} = \vec{p} \)
2). Складывать можно векторы, у которых размерность совпадает.
О сложении векторов простым языком написано тут.
Обратим внимание на размерность.
\(\overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c}\right) \)
\( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \left( H \cdot c \right) \)
На первый взгляд, она отличается, но с помощью простых преобразований можно показать, что
\[ \large 1 \text{кг} \cdot \frac{ 1\text{м}}{1 c} = 1 H \cdot 1 c \]
Вывод формулы с помощью алгебры
Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить из алгебраических соображений.
Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.
Запишем второй закон Ньютона:
\(\displaystyle \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\)
Применим выражение для ускорения
\(\displaystyle \vec{a} = \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t }\)
В этих уравнениях слева находится величина \(\vec{a}\). Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части
\(\displaystyle \frac{\vec{F}}{m} = \frac{\vec{\Delta v}}{\Delta t }\)
Полученное выражение является пропорцией. Применив одно из свойств пропорции, получим такое выражение:
\( \overrightarrow{F \cdot \Delta t} = \overrightarrow {\Delta v\cdot m} \)
В правой части находится вектор \(\overrightarrow {\Delta v} = \vec {v} — \vec {v_{0}} \) – это разница между конечной и начальной скоростью.
Преобразуем правую часть
\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \left( \vec {v} — \vec {v_{0}} \right) \cdot m\)
Раскрыв скобки, получим
\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \vec {v} \cdot m — \vec {v_{0}} \cdot m \)
Вспомним обозначения:
\(\vec {v} \cdot m = \vec {p}\)
\(\vec {v_{0}} \cdot m = \vec {p_{0}} \)
Подставляя их, получим
\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \vec {p} — \vec {p_{0}}\)
\(\vec {p} — \vec {p_{0}}=\overrightarrow{\Delta p}\)
Или, сокращенно
\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \overrightarrow{\Delta p}\)
То есть, вектор \(\overrightarrow {\Delta v\cdot m}\) – это вектор \(\overrightarrow {\Delta p}\).
Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так
\( \overrightarrow{F \cdot \Delta t} = \overrightarrow{\Delta p}\)
Загрузка...
