Второй закон Ньютона в импульсной форме

Любое тело, обладающее скоростью, обладает импульсом.

Скорость тела будет меняться, когда на него подействует сила и появится ускорение. Об этом сообщает второй закон Ньютона. А если изменяется скорость тела, то будет изменяться его импульс.

Второй закон Ньютона в импульсной форме описывает изменение импульса тела под действием силы.

Формула второго закона Ньютона в импульсной форме

Импульсная форма записи второго закона выглядит так:

\[ \large \boxed{ \overrightarrow{\Delta p} = \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} } \]

Словами это выражение можно сформулировать так:

\[ \large \boxed { \text {Изменение импульса тела = импульсу силы }} \]

\(\overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c}\right) \) – вектор изменения импульса тела;

\( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \left( H \cdot \text{м} \right) \) – вектор импульса силы;

Слева и справа в формуле находятся два вектора. Так как между ними записан знак равенства, значит у векторов \(\overrightarrow{\Delta p} \) и \( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \) совпадают обе характеристики — направление и длина.

С помощью математики фразу «длины векторов равны» можно записать так:

\( \left| \overrightarrow{\Delta p} \right | = \left| \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \right | \)

Как посчитать длину вектора, и как ее обозначать, читайте тут.

Пояснения и вывод формулы с помощью геометрии

Чтобы получить импульсный вид записи для второго закона, рассмотрим такую задачу.

Представим, что мы склонились над бильярдным столом и смотрим на него сверху. А в это время по столу катится бильярдный шар с какой-то постоянной скоростью.

Примечание: с постоянной скоростью, значит — с одной и той же скоростью. О такой скорости физики часто говорят «с неизменной скоростью», а математики применяют для нее запись \( \vec{v} = const \).

Пусть для определенности масса шара равна двум килограммам.

\( m = 2 \left( \text{кг} \right) \)

Пусть до того, как мы подействовали на шар, он двигался по столу в направлении, указанном на рисунке 1а. Шар вначале движется по горизонтали (рис. 1а), вектор начальной скорости обозначен \( \vec{v_{0}} \).

Подействуем теперь на шар, ударив его кием под углом к начальной скорости.  Направление, вдоль которого мы ударили, показано на рисунке 1б с помощью вектора силы \( \vec{F} \) .

После удара шар будет катиться уже не по горизонтали на рисунке. Физики скажут: направление движения шара изменилось. Направление, в котором шар движется после удара, обозначено вектором \( \vec{v} \) на рисунке 2в. Вектор \( \vec{v} \)  — конечная скорость шара.

Показаны направления движения шара до – а) и после – в) удара, направление вектора силы – б).
Рис. 1. Направление движения шара а) — до удара, в) – после удара, б) – в эту сторону шар подтолкнули силой

Нам известны начальная и конечная скорости тела, а также, его масса. Мы можем вычислить импульс тела до удара (рис 2а), и после удара (рис 2б).

\( m \cdot \vec{v_{0}} = \vec{p_{0}}\) – импульс тела до удара (начальный);

\( m \cdot \vec{v} = \vec{p}\) – импульс тела после удара (конечный).

Вектор скорости тела умножаем на скаляр - массу тела, получаем вектор импульса тела
Рис. 2. Вектор скорости тела умножаем на скаляр — массу тела, получаем вектор импульса тела

Обратите внимание, что у векторов начального импульса \( \vec{p_{0}}\) и начальной скорости \( \vec{v_{0}}\) направления совпадают. Вектор конечного импульса \( \vec{p}\), так же, сонаправлен с вектором \( \vec{v}\) конечной скорости тела.

Для удобства совместим начала векторов \( \vec{p_{0}}\)  и \( \vec{p}\) (рис. 3). Зададимся вопросом, как из вектора начального импульса \( \vec{p_{0}}\) получить конечный \( \vec{p}\) вектор?

Совмещены начала векторов импульса тела до (черный) и после (красный) удара
Рис. 3. Начала векторов импульса тела до (черный) и после (красный) удара совмещены

Очевидно, нужно к вектору \( \vec{p_{0}}\) прибавить еще один вектор. Обозначим этот вектор \( \overrightarrow{\Delta p} \), он представлен на рисунке 4.

Конечный вектор импульса тела – это сумма начального вектора импульса и вектора изменения импульса
Рис. 4. К начальному вектору импульса прибавили вектор изменения импульса и получили конечный вектор импульса тела

Подробнее о том, как складывать векторы, написано тут.

Сумму можно записать так:

\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} \)

Это уравнение записано в векторном виде. Стрелки над символами подчеркивают тот факт, что векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.

Выразим теперь вектор, обозначенный \( \overrightarrow{\Delta p} \). Для этого, из обеих частей уравнения вычтем вектор \( \vec{p_{0}} \).

\( \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} — \vec{p_{0}} \)

Видно, что вектор \( \overrightarrow{\Delta p} \) – это разница между конечным \( \vec{p} \) и начальным \( \vec{p_{0}} \) векторами импульса тела.

Физики для вектора \( \overrightarrow{\Delta p} \) используют такое название:

\( \overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c} \right) \) – вектор изменения импульса тела.

Рассмотрим теперь совместно векторы \( \overrightarrow{\Delta p} \) и \( \vec{F} \) на одном рисунке (рис. 5).

Векторы изменения импульса тела и силы, действующей на тело, сонаправлены, модули векторов отличаются
Рис. 5. Вектор изменения импульса тела сонаправлен с вектором силы, действующей на тело, длины векторов отличаются

Направления векторов совпадают, а длина – различается.

Примечание: Математики вместо выражения «длина вектора» употребляют термин «модуль вектора».

Предположим, у нас есть точный хронометр и мы измерили кусочек времени, в течение которого сила действовала на бильярдный шар.

Умножим теперь вектор \( \vec{F} \)  на этот промежуток времени \( \Delta t \) — скаляр. Результат умножения представлен на рисунке 6.

Вектор импульса силы – это вектор силы, действующей на тело, умноженный на скаляр – промежуток времени, в течение которого сила действовала
Рис. 6. Вектор силы, действующей на тело, умножаем на скаляр – промежуток времени, в течение которого сила действовала, получили вектор импульса силы

Из рисунка 6 видно, что у векторов \(\overrightarrow{\Delta p} \) и \( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \) совпадают не только направления, но и длины.

Если у векторов совпадают обе характеристики, то их можно приравнять. Подробнее о том, какие у векторов есть характеристики, написано тут.

\[ \large \boxed{ \overrightarrow{\Delta p} = \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} } \]

Это выражение называют вторым законом Ньютона, записанным в импульсной форме.

Примечания

1). Сумму векторов

\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{\Delta p} = \vec{p} \)

можно теперь переписать в таком виде:

\( \vec{p_{0}} + \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} = \vec{p} \)

2). Складывать можно векторы, у которых размерность совпадает.

О сложении векторов простым языком написано тут.

Обратим внимание на размерность.

\(\overrightarrow{\Delta p} \left( \text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{c}\right) \)

\( \overrightarrow{ F \cdot \Delta t} \left( H \cdot c \right) \)

На первый взгляд, она отличается, но с помощью простых преобразований можно показать, что

\[ \large 1 \text{кг} \cdot \frac{ 1\text{м}}{1 c} = 1 H \cdot 1 c \]

Вывод формулы с помощью алгебры

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить из алгебраических соображений.

Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона:

\(\displaystyle \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\)

Применим выражение для ускорения

\(\displaystyle \vec{a} = \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t }\)

В этих уравнениях слева находится величина \(\vec{a}\). Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

\(\displaystyle \frac{\vec{F}}{m} = \frac{\vec{\Delta v}}{\Delta t }\)

Полученное выражение является пропорцией. Применив одно из свойств пропорции, получим такое выражение:

\( \overrightarrow{F \cdot \Delta t} = \overrightarrow {\Delta v\cdot m} \)

В правой части находится вектор \(\overrightarrow {\Delta v} = \vec {v} — \vec {v_{0}} \) – это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \left( \vec {v} — \vec {v_{0}} \right) \cdot m\)

Раскрыв скобки, получим

\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \vec {v} \cdot m — \vec {v_{0}} \cdot m \)

Вспомним обозначения:

\(\vec {v} \cdot m = \vec {p}\)

\(\vec {v_{0}} \cdot m = \vec {p_{0}} \)

Подставляя их, получим

\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \vec {p} — \vec {p_{0}}\)

\(\vec {p} — \vec {p_{0}}=\overrightarrow{\Delta p}\)

Или, сокращенно

\(\overrightarrow{\Delta v}\cdot m = \overrightarrow{\Delta p}\)

То есть, вектор \(\overrightarrow {\Delta v\cdot m}\) – это вектор \(\overrightarrow {\Delta p}\).

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

\( \overrightarrow{F \cdot \Delta t} = \overrightarrow{\Delta p}\)

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector