Невесомая горизонтальная балка покоится на опорах A и C. В точке B к ней прикреплен груз массой 20 кг. Расстояние AB = 8 м, BC = 2 м. Найти модули сил, с которыми опоры действуют на балку в точках A и C.
Рассмотрим универсальный алгоритм, позволяющий получить решение для подобных задач. Шаги этого алгоритма делают решение несложным и логически понятным.
Решение
Чтобы решить предложенную задачу, будем применять:
- правила составления векторных уравнений,
- понятие момента силы,
- условия равновесия тел.
Обязательно перейдите по ссылкам и ознакомьтесь со статьями. А после продолжайте читать данную статью, цепочка действий для получения ответа станет проще для понимания.
Шаг 1 — составим рисунок
Укажем на рисунке опоры и груз, действующий на балку (рис. 1).
Примечание: Обязательно составляйте рисунок, он поможет ясно увидеть ситуацию задачи
Шаг 2 — заменим тела силами их воздействия
Заменим теперь тела, действующие на балку, силами их воздействия (рис. 2). Каждую опору заменим силой реакции опоры, а груз — силой тяжести.
На рисунке 2 горизонтальными стрелками отмечены плечи сил \(mg\) и \(N_{C}\). Точка A выделена красным цветом. Будем считать, что вокруг этой точки балка может вращаться, т. е. через эту точку проходит ось вращения балки.
Примечание: Силы на рисунке 2 направлены вертикально. Поэтому, для составления силового уравнения достаточно провести одну вертикальную ось.
Шаг 3 — составим условия равновесия для балки
Первое условие равновесия балки выглядит так:
\[ \large N_{A} + N_{C} — mg = 0 \]
\( N_{A} \left( H \right) \) – сила реакции опоры в точке A;
\( N_{C} \left( H \right) \) – сила реакции опоры в точке C;
\( mg \left( H \right) \) – вес (ссылка) груза, прикрепленного к балке в точке B;
Величину \( g \) называют ускорением свободного падения.
Запишем второе условие равновесия балки. Для этого используем точку A, вокруг которой может происходить вращение балки и понятие момента силы.
\[ \large — N_{C} \cdot AC + mg \cdot AB = 0 \]
\( AC \left( \text{м} \right) \) – плечо силы реакции опоры \(N_{C}\);
\( AB \left( \text{м} \right) \) – плечо силы \(mg\);
\( mg \left( H \right) \) – вес груза, прикрепленного к балке в точке B;
Мы получили систему из двух уравнений, описывающих балку, находящуюся в покое под действием приложенных сил.
\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — N_{C} \cdot AC + mg \cdot AB = 0 \end{cases} } \]
Решив эту систему, мы найдем две неизвестные силы \(N_{A}\) и \(N_{C}\)
Примечание: Сила \(mg\) вращает рычаг (балку) по часовой стрелке, а сила \(N_{C}\) — в противоположном направлении. Из-за этого, перед величиной \(N_{C}\) возникает знак «минус». Подробнее об этом читайте в статье Рычаг, условие равновесия.
Шаг 4 – подставим числовые значения в полученную систему
Масса груза 20 кг. Расстояние AB = 8 м.
Найдем плечо силы \(N_{C}\) — расстояние AC.
AC = AB + BC — общая длина состоит из длины вех частей балки (смотрите рис. 2)
AC = 8 + 2
AC = 10 (м)
Подставим числа в систему уравнений для равновесия и получим
\[ \large \begin{cases} N_{A} + N_{C} — 200 = 0 \\ — N_{C} \cdot 10 + 200 \cdot 8 = 0 \end{cases} \]
Из второго уравнения системы следует, что \( N_{C} = 160 \) Ньютонов.
Используем этот результат и поместим его в первое уравнение системы. Получаем:
\[ \large N_{A} + 160 — 200 = 0 \]
Откуда ясно, что \( N_{A} = 40 \) Ньютонов.
Ответ:
\[ \large \begin{cases} N_{C} = 160 (H) \\ N_{A} = 40 (H) \end{cases} \]
Можно ли провести ось вращения через другую точку
Не обязательно в качестве точки, через которую проходит ось вращения, выбирать точку A. Можно для этих целей выбрать, к примеру, точку B (рис. 3).
В таком случае, получим следующую систему уравнений для равновесного положения балки
\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — N_{C} \cdot BC + N_{A} \cdot AB = 0 \end{cases} } \]
Решая ее, получим ответ, аналогичный предыдущему случаю.
Если ось вращения проходит через точку C
Мы можем, также, в качестве точки, через которую проходит ось вращения, выбрать точку C (рис. 4).
Система уравнений, описывающих равновесие балки, для этого случая будет выглядеть так
\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — mg \cdot BC + N_{A} \cdot AC = 0 \end{cases} } \]
Решение этой системы, также, позволит получить ответ для нашей задачи.
Выводы
- В качестве точки, через которую проходит ось вращения балки, можно выбирать любую из точек: A, B или C. Для каждого случая будем получать свою систему уравнений;
- Решая любую из полученных систем уравнений, сможем найти реакции опор;
- Можно, также, дополнительно задать любую другую точку на балке и выбрать ее в качестве точки, через которую будет проходить ось вращения. На ответ задачи это не повлияет и принципа решения не изменит. Важно лишь, чтобы расстояния между точками были известными;
- Иногда попадаются более сложные задачи о равновесии под действием нескольких сил. В них количество неизвестных больше количества уравнений в системе для одной оси вращения. Тогда составляем несколько систем для различных осей вращения и объединяем их в одну общую систему. Этот прием поможет решить задачу;
Загрузка...
