Задача о равновесии балки

Невесомая горизонтальная балка покоится на опорах A и C. В точке B к ней прикреплен груз массой 20 кг. Расстояние AB = 8 м, BC = 2 м. Найти модули сил, с которыми опоры действуют на балку в точках A и C.

Рассмотрим универсальный алгоритм, позволяющий получить решение для подобных задач. Шаги этого алгоритма делают решение несложным и логически понятным.

Решение

Чтобы решить предложенную задачу, будем применять:

Обязательно перейдите по ссылкам и ознакомьтесь со статьями. А после продолжайте читать данную статью, цепочка действий для получения ответа станет проще для понимания.

Шаг 1 — составим рисунок

Укажем на рисунке опоры и груз, действующий на балку (рис. 1).

Невесомая балка, расположенная горизонтально, опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз
Рис. 1. Горизонтальная невесомая балка опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз

Примечание: Обязательно составляйте рисунок, он поможет ясно увидеть ситуацию задачи

Шаг 2 — заменим тела силами их воздействия

Заменим теперь тела, действующие на балку, силами их воздействия (рис. 2). Каждую опору заменим силой реакции опоры, а груз — силой тяжести.

Невесомая балка опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз, A – точка, через которую проходит ось вращения балки
Рис. 2. Балка опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз, A – точка, через которую проходит ось вращения балки

На рисунке 2 горизонтальными стрелками отмечены плечи сил \(mg\) и \(N_{C}\). Точка A выделена красным цветом. Будем считать, что вокруг этой точки балка может вращаться, т. е. через эту точку проходит ось вращения балки.

Примечание: Силы на рисунке 2 направлены вертикально. Поэтому, для составления силового уравнения достаточно провести одну вертикальную ось.

Шаг 3 — составим условия равновесия для балки

Первое условие равновесия балки выглядит так:

\[ \large N_{A} + N_{C} — mg = 0 \]

\( N_{A}  \left( H \right) \)  – сила реакции опоры в точке A;

\( N_{C}  \left( H \right) \)  – сила реакции опоры в точке C;

\( mg \left( H \right) \)  – вес (ссылка) груза, прикрепленного к балке в точке B;

Величину \( g \) называют ускорением свободного падения.

Запишем второе условие равновесия балки. Для этого используем точку A, вокруг которой может происходить вращение балки и понятие момента силы.

\[ \large — N_{C} \cdot AC + mg \cdot AB = 0 \]

\( AC  \left( \text{м} \right) \)  – плечо силы реакции опоры \(N_{C}\);

\( AB  \left( \text{м} \right) \)  – плечо силы \(mg\);

\( mg \left( H \right) \)  – вес груза, прикрепленного к балке в точке B;

Мы получили систему из двух уравнений, описывающих балку, находящуюся в покое под действием приложенных сил.

\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — N_{C} \cdot AC + mg \cdot AB = 0 \end{cases} } \]

Решив эту систему, мы найдем две неизвестные силы \(N_{A}\) и \(N_{C}\)

Примечание: Сила \(mg\) вращает рычаг (балку) по часовой стрелке, а сила \(N_{C}\) — в противоположном направлении. Из-за этого, перед величиной \(N_{C}\) возникает знак «минус». Подробнее об этом читайте в статье Рычаг, условие равновесия.

Шаг 4 – подставим числовые значения в полученную систему

Масса груза 20 кг. Расстояние AB = 8 м.

Найдем плечо силы \(N_{C}\) — расстояние AC.

AC = AB + BC — общая длина состоит из длины вех частей балки (смотрите рис. 2)

AC = 8 + 2

AC = 10 (м)

Подставим числа в систему уравнений для равновесия и получим

\[ \large \begin{cases} N_{A} + N_{C} — 200 = 0 \\ — N_{C} \cdot 10 + 200 \cdot 8 = 0 \end{cases} \]

Из второго уравнения системы следует, что \( N_{C} = 160 \) Ньютонов.

Используем этот результат и поместим его в первое уравнение системы. Получаем:

\[ \large N_{A} + 160 — 200 = 0 \]

Откуда ясно, что \( N_{A} = 40 \) Ньютонов.

Ответ:

\[ \large \begin{cases} N_{C} = 160 (H) \\ N_{A} = 40 (H) \end{cases} \]

Можно ли провести ось вращения через другую точку

Не обязательно в качестве точки, через которую проходит ось вращения, выбирать точку A. Можно для этих целей выбрать, к примеру, точку B (рис. 3).

Невесомая балка опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз, через точку B проходит ось вращения балки
Рис. 3. Балка опирается на опоры в точках A и C, в точке B к ней прикреплен груз, через точку B проходит ось вращения балки

В таком случае, получим следующую систему уравнений для равновесного положения балки

\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — N_{C} \cdot BC + N_{A}  \cdot AB = 0 \end{cases} } \]

Решая ее, получим ответ, аналогичный предыдущему случаю.

Если ось вращения проходит через точку C

Мы можем, также, в качестве точки, через которую проходит ось вращения, выбрать точку C (рис. 4).

Невесомая балка опирается на опоры, они расположены в точках A и C, в точке B располагается груз, через точку C проходит ось вращения балки
Рис. 4. Через точку C проходит ось вращения балки, опоры расположены в точках A и C, в точке B располагается груз

Система уравнений, описывающих равновесие балки, для этого случая будет выглядеть так

\[ \large \boxed{ \begin{cases} N_{A} + N_{C} — mg = 0 \\ — mg \cdot BC + N_{A}  \cdot AC = 0 \end{cases} } \]

Решение этой системы, также, позволит получить ответ для нашей задачи.

Выводы

  1. В качестве точки, через которую проходит ось вращения балки, можно выбирать любую из точек: A, B или C. Для каждого случая будем получать свою систему уравнений;
  2. Решая любую из полученных систем уравнений, сможем найти реакции опор;
  3. Можно, также, дополнительно задать любую другую точку на балке и выбрать ее в качестве точки, через которую будет проходить ось вращения. На ответ задачи это не повлияет и принципа решения не изменит. Важно лишь, чтобы расстояния между точками были известными;
  4. Иногда попадаются более сложные задачи о равновесии под действием нескольких сил. В них количество неизвестных больше количества уравнений в системе для одной оси вращения. Тогда составляем несколько систем для различных осей вращения и объединяем их в одну общую систему. Этот прием поможет решить задачу;

 

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector