Закон сохранения импульса

Словами этот закон сохранения можно сформулировать так:

В замкнутой системе сумма импульсов тел не меняется со временем.

Формула:

\[ \large \boxed{ \vec{p_{1}} + \vec{p_{2}} + \vec{p_{3}} + \ldots + \vec{p_{n}} = const}\]

Помним, что при сложении векторов учитываем их направления.

Примечания:

1. Импульс иногда называют количеством движения. Рекомендую освежить в памяти, какие виды импульсов есть в физике и что такое импульс.
2. Формулировку закона сохранения импульса можно упростить:

В замкнутой системе вектор \( \vec{p_{\text{общ}}}\)  не меняется.

Математики данный факт запишут таким способом:

\[ \large \boxed{ \vec{p_{\text{общ}}} = const}\]

Дополнительно читайте о том, какие системы можно считать замкнутыми, и какие виды систем в физике есть.

Пояснения к формуле закона сохранения импульса

Пусть, несколько тел двигаются в замкнутой системе.

В начальный момент времени сложим векторы \( \vec{p} \) импульсов всех тел, входящих в систему.

В результате получим новый вектор, обозначим его \( \vec{p_{\text{общ}}} \). Этот вектор – импульс всей системы, как единого целого.

Время идет. Тела продолжают двигаться и соударяться. При ударах их импульсы будут меняться (и по направлению, и по модулю).

После каждого удара будем с помощью геометрии складывать новые импульсы тел.

При этом выяснится следующее: складывая новые импульсы тел, мы будем получать все тот же вектор \( \vec{p_{\text{общ}}} \), который был получен нами в начале.

Импульс сохраняется, на примере бильярдных шаров

Предположим, мы склонились над гладким бильярдным столом и смотрим на него сверху. Рассмотрим три бильярдных шара на столе (рис. 1). Массы шаров одинаковые.

\( m_{1} = m_{2} = m_{3}\)

Рис. 1. Шар 1 движется по направлению к покоящимся шарам 2 и 3

Шары под номерами 2 и 3 покоятся. Значит, их начальные скорости и импульсы равны нулю.

Шар №2: \( \vec{v_{2\text{до}}} = 0\),  импульс \( \vec{p_{2\text{до}}} = 0\)

Для третьего шара \( \vec{v_{3\text{до}}} = 0\) и \( \vec{p_{3\text{до}}} = 0\)

Еще один шар движется со скоростью \( \vec{v_{1\text{до}}} \) по направлению к шарам 2 и 3.

Его вектор импульса обозначен \( \vec{p_{1\text{до}}} \) на рисунке.

Сложим импульсы всех шаров, чтобы найти общий вектор импульса системы

\[ \vec{p_{1}} + \vec{p_{2}} + \vec{p_{3}} \]

\[ \vec{p_{1}} + 0 + 0 = \vec{p_{1}} \]

То есть, импульс первого шара равен импульсу всех шаров системы (рис. 2) до удара

\[ \vec{p_{1}} = \vec{p_{\text{общ.до}}} \]

Рис. 2. До удара вектор импульса системы шаров равен вектору импульса первого шара

Во время удара шар 1 подействовал на шары 2 и 3 силой и передал им импульс.

После удара шар под номером 1 остановился, а шары 2 и 3 пришли в движение.

Примечание: в бильярде иногда бывает такое, шар передает свой импульс полностью шару, о который он ударяется.

Направления, в которых двигаются шары 2 и 3, указаны векторами их импульсов \( \vec{p_{2\text{после}}} \) и \( \vec{p_{3\text{после}}} \) на рисунке 3.

Рис. 3. После удара шар 1 остановился, шары 2 и 3 пришли в движение, стрелками указано направление движения шаров

Рассмотрим векторы импульсов шаров 2 и 3 подробнее. Совместим их начала и дорисуем параллелограмм (рис. 4), чтобы сложить импульсы \( \vec{p_{2\text{после}}} \) и \( \vec{p_{3\text{после}}} \).

Рис. 4. Совместим начала векторов импульса шаров 2 и 3 после удара для их сложения

В результате сложения получим вектор, обозначенный на рисунке 5 красной стрелкой и символом \( \vec{p_{\text{общ.после}}} \)

Рис. 5. Общий вектор импульса системы получим, складывая векторы импульса шаров 2 и 3 после удара

Сравним векторы \( \vec{p_{\text{общ.до}}} \) и \( \vec{p_{\text{общ.после}}} \). Как видно из рисунка 6, у векторов совпадают длины и направления. Если у векторов совпадают обе характеристики, то векторы равны. О равенстве векторов подробно написано тут.

Рис. 6. Сравнивая вектор импульса системы до удара с вектором импульса системы послу удара обнаружим их равенство

Запишем математически равенство векторов:

\[ \vec{p_{\text{общ.до}}} = \vec{p_{\text{общ.после}}} \].

Общий импульс системы до удара = общему импульсу системы после удара.

Это выражение и есть закон сохранения импульса.

Далее, советую почитать о способе решения задач, связанных с только что изученной темой. Переходите по ссылке, чтобы правильно составить формулу закона сохранения для двух случаев —  абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар (откроется в новой вкладке).