Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

\[\vec{a} = \left\{ a_{x}; a_{y} \right\}\]

\( a_{x} \) – это  «x» координата вектора, проекция вектора \( \vec{a} \) на ось Ox;

\( a_{y} \) — это  «y» координата вектора, проекция вектора \( \vec{a} \) на ось Oy;

Рис. 1. Обозначения вектора и его проекций на координатные оси

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

\( A \left( 1;1 \right) \) — начальная точка,

\( B \left( 4;3 \right) \) — конечная точка,

Рис. 2. На плоскости отмечены две точки

\( \overrightarrow {AB} \) – вектор.

\[ \overrightarrow {AB} = \left\{ AB_{x}; AB_{y} \right\} \]

\[ \begin{cases}  AB_{x} = 4 – 1; AB_{x} = 3  \\ AB_{y} = 3 – 1; AB_{y} = 2 \end{cases} \]

\[ \overrightarrow {AB} = \left\{ 3; 2 \right\} \]

Рис. 3. Вектор и его координаты

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

\( \left| \vec{a} \right| \) – длина вектора \( \vec{a} \).

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

\( a_{x} \) и \( a_{y} \) — это числа, координаты вектора \( \vec{a} \)

Для двухмерного вектора:

\[ \large \boxed {  \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } }\]

Для трехмерного вектора:

\[ \large \boxed {  \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2} } } \]

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

Рис. 4. Вектор располагается вдоль линий, на листке в клетку

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

Рис. 5. Вектор не расположен вдоль линий, разграничивающих листок в клетку

\( \Delta x \) — горизонталь; \( \Delta y \) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

\[ \left| \vec{a} \right| = \sqrt { \left(\Delta x  \right)^{2} + \left( \Delta y \right)^{2} } \]

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол \( \alpha \) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол \( \beta \) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Рис. 6. Углы между вектором и осями на плоскости

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.