Как складывать векторы

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

• параллельно,
• не параллельно.

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

• А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора
• Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Рис. 1. Складываем параллельные векторы

\( \vec{a} + \vec{c} = \vec{g} \)

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

• сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).
• складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».

1. Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.
2. А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.
3. Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Рис. 2. Складываем параллельные противоположно направленные векторы

\( \vec{a} + \vec{s} = \vec{w} \)

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

1. правило треугольника;
2. правило параллелограмма;

Рис. 3. Не параллельные векторы

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Рис. 4. Располагаем не параллельные векторы, чтобы сложить их по правилу треугольника

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Рис. 5. Складываем не параллельные векторы по правилу треугольника

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Рис. 6. Совмещаем начала не параллельных векторов, чтобы сложить их по правилу параллелограмма

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Рис. 7. Достраиваем пунктирами параллелограмм, чтобы сложить векторы

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Рис. 8. Проводим диагональ параллелограмма, чтобы сложить векторы

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «\( -\vec{b} \)» — это вектор «\( \vec{b} \)», развернутый в противоположную сторону.

Рис. 9. Вектор и противоположно направленный ему вектор

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Ведь \( \vec{a}-\vec{b} \) то же, что и \( \vec{a}+ \left(-\vec{b} \right)\).

Рис. 10. Складываем вектор «a» и противоположно направленный вектор «-b»

\( \vec{a} + \left(-\vec{b} \right) = \vec{g} \)

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

\( \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} ;\right\} \)

\( \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} ;\right\} \)

Рассмотрим примеры:

1. Сложение.

\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \)

\( \vec{c} = \left\{ a_{x}+ b_{x} ; a_{y}+ b_{y} ; a_{z} + b_{z} \right\} \)

2. Вычитание.

\( \vec{a} — \vec{b} = \vec{d} \)

\( \vec{d} = \left\{ a_{x}- b_{x} ; a_{y}- b_{y} ; a_{z} — b_{z} \right\} \)

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
\( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \)

Скорость \( \vec{v} \)измеряют в метрах деленых на секунду, а ускорение \( \vec{a} \) – в метрах, деленых на секунду в квадрате.
Размерность векторов \( \vec{v} \) и \( \vec{a} \) отличается. Значит, выполнять математические действия совместно над ними нельзя.

Если преобразовать вектор \( \vec{a} \) ускорения так, что он получит размерность скорости, тогда можно будет складывать его с вектором скорости.
Чтобы из размерности ускорения получить метры, деленные на секунду, нужно размерность ускорения домножить на секунду.

Поэтому, в формулу для равноускоренного движения входит \( \vec{a} \cdot t \) — ускорение, домноженное на время.
Теперь векторы \( \vec{v_{0}} \) и \( \vec{a} \cdot t \) имеют одинаковую размерность и их можно складывать, или вычитать.

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость \( \vec{v} \), начальная скорость \( \vec{v_{0}} \) и ускорение \( \vec{a} \) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула \( \vec{v} = \vec{v_{0}} + \vec{a} \cdot t \) записана в векторном виде.