Все векторы имеют две характеристики: длину и направление.
Векторы, у которых равны обе характеристики, называют равными.
Векторы, у которых равны длины, но не совпадают направления, равными назвать не получится. Такие векторы равны только лишь по модулю.
Коллинеарные векторы – либо сонаправленные, либо направленные противоположно. При этом, длины векторов могут отличаться.
Коллинеарность — значит параллельность.
Условие коллинеарности векторов
Рассмотрим два вектора: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Вектры будут коллинеарными, если выполняется условие:
\[ \large \boxed { \vec{a} = k \cdot \vec{b} } \]
Его можно записать в таком виде:
\[ \large \boxed { \begin{cases} a_{x} = k \cdot b_{x} \\ a_{y} = k \cdot b_{y} \\ a_{z} = k \cdot b_{z} \end{cases}}\]
\( k \) – это число, коэффициент.
Коэффициент \( k \) показывает, во сколько раз отличаются длины векторов.
Если отличаются длины векторов, то их соответственные координаты, также, отличаются в \( k \) раз.
Когда коэффициент \( k \) отрицателен, векторы направлены противоположно. А если положителен — то векторы сонаправлены.
Как применять условие коллинеарности векторов
Даны два вектора
\( \vec{a} = \left\{ 8 ; 4; -16 \right\} \)
\( \vec{b} = \left\{ -4 ; -2 ; 8 \right\} \)
Выясним, коллинеарны ли эти векторы:
Решение:
Запишем условие коллинеарности:
\[ \begin{cases} a_{x} = k \cdot b_{x} \\ a_{y} = k \cdot b_{y} \\ a_{z} = k \cdot b_{z} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 8 = k \cdot \left( -4 \right) \\ 4 = k \cdot \left( -2 \right)\\ -16 = k \cdot 8 \end{cases} \]
Все три уравнения соответствуют случаю \( k= -2 \).
Значит, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) – коллинеарные векторы.
Примечание:
Во всех трех уравнениях коэффициенты \( k \) должны совпадать.
Векторы не коллинеарные, если хотя бы один коэффициент \( k \) отличается от других значений \( k \) для записанной системы.
Коллинеарные векторы в физике
Примеры коллинеарных векторов в физических задачах:
1. Пусть тело движется прямолинейно и замедляется под действием силы трения. В таком случае вектор скорости этого тела и вектор ускорения будут коллинеарными векторами.
Рисунок 1 иллюстрирует коллинеарность векторов ускорения и скорости при прямолинейном равнозамедленном движении
2. При свободном падении тела векторы скорости и вектор ускорения свободного падения буду коллинеарными.
На рисунке 2 изображены коллинеарные векторы ускорения свободного падения и скорости падающего тела
Загрузка...
