Компланарные векторы – это векторы, которые лежат в одной плоскости, или параллельны какой-либо плоскости.
Рассмотрим три вектора в трехмерном пространстве. Любые два из них будут компланарными всегда. Поэтому, компланарность проверяют минимум для трех векторов.
Почему любые два вектора всегда компланарны
Поясним факт, что любые два вектора будут компланарными.
Для начала вспомним, какие векторы называют равными. Равны векторы, у которых совпадают три характеристики: длина, направление, соответственные координаты.
Возьмем какой-либо вектор \( \vec{a} \) и будем сдвигать его в трехмерном пространстве, не поворачивая при этом. При этом мы можем сдвигать вектор параллельно любой из осей: Ox, Oy, или Oz. Сдвигая вектор параллельным переносом, в заключении движения мы получим новый вектор \( \vec{a_{1}} \).
При параллельном переносе вектор не поворачивается. Этот новый вектор \( \vec{a_{1}} \) будет иметь те же длину, направление и координаты, что и начальный вектор до сдвига. Другими словами, с помощью параллельного переноса можно получить вектор, равный данному вектору.
\[ \vec{a} = \vec{a_{1}} \]
Если два вектора равны, то вместо одного из них мы сможем использовать второй, когда это будет удобным для нас.
Проделаем теперь те же операции с каким-либо другим вектором \( \vec{b} \). В результате получим вектор \( \vec{b_{1}} \), равный вектору \( \vec{b} \).
Любые два вектора можно параллельным переносом сдвинуть так, чтобы совместить их начальные, или конечные точки. Значит, через эти векторы можно провести пересекающиеся прямые. А такие прямые будут лежать в одной плоскости.
Таким образом, любые два вектора всегда компланарны.
Например, любые два орта Декартовой прямоугольной системы координат компланарны, а тройка ортов – некомпланарные векторы. Подробнее об ортах тут (откроется в новой вкладке).
Условие компланарности
Найдем смешанное произведение трех векторов.
Смешанное произведение обозначают так:
\[ \left( \vec{a} , \vec{b} , \vec{с} \right) \]
Если такое произведение будет равно нулю, то три вектора компланарные.
Условие компланарности векторов:
\[\large \boxed{ \left( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \right) = 0 }\]
Как вычислить смешанное произведение
- Нужно любые два вектора перемножить векторным способом, в результате получим новый вектор.
- Этот новый вектор умножаем скалярным способом на оставшийся третий вектор.
Смешанное произведение можно обозначить еще одним способом:
\[ \left( \left[ \vec{a} , \vec{b} \right], \vec{с} \right) \]
Результат смешанного произведения – это число. Если число равно нулю, то векторы компланарны.
Смешанное произведение, также, можно вычислить вторым способом — с помощью определителя:
\[\large \boxed { \left( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \right) = \begin{vmatrix}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z} \\
\end{vmatrix} }\]
Как применять смешанное произведение
Если три вектора не компланарны, то на них, как на сторонах, можно построить параллелепипед, или пирамиду.
С помощью смешанного произведения можно рассчитывать объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.
Примечание:
Определитель может быть равен отрицательному числу. А объем может быть либо нулевым, либо положительным. Поэтому, если при вычислении объема определитель будет равен отрицательному числу, знак минус не учитываем.
\[\large \boxed { V_{\text{параллелепипеда}} = \pm \left( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \right) }\]
Рисунок 2 поясняет, как с помощью векторов на ребрах параллелепипеда можно рассчитать его объем
\[ \large \boxed { V_{\text{пирамиды}} = \pm \frac{1}{6}\cdot \left( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \right) }\]
Рисунок 3 поясняет, как с помощью векторов на ребрах пирамиды можно рассчитать ее объем
Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы
Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.
Работа вращающей силы – это смешанное произведение векторов \( \vec{\omega} \), \(\vec{ r} \) и \(\vec{ F} \)
\[ \large \boxed { dA = \left( \vec{F} \left[ \vec{\omega} , \vec{r} \right] \right)\cdot dt }\]
Пояснения:
Линейная скорость – это векторное произведение радиуса окружности на угловую скорость:
\[ \vec{v} = \left[ \vec{\omega} , \vec{r} \right] \]
Расстояние, \( \vec{dS}\) которое проходит точка при повороте на небольшой угол — – это произведение вектора линейной скорости на скалярную величину – время:
\[ \vec{dS} = v \cdot dt \]
Небольшая работа dA – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
\[ dA = \left( \vec{F} \cdot \vec{dS} \right)\]
Загрузка...
