Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.
Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному
Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.
Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов
Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:
- Поменять местами координатные числа «x» и «y».
- Заменить знак у одной из координат на противоположный.
Графический пример
Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).
На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
\[ \vec{a} = \left\{ 4 ; 3 \right\} \]
\[ \vec{b} = \left\{ -3 ; 4 \right\} \]
Из рисунка видно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны: \( \vec{a} \perp \vec{b} \).
Вектор \( -\vec{b} = \left\{ 3 ; -4 \right\} \), также будет перпендикулярным вектору \( \vec{a} \): \( \vec{a} \perp \vec{(-b)} \)
Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.
Длины векторов \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{(-b)} \) равны.
Условие перпендикулярности векторов
Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.
\[ \large \boxed { \begin{cases} \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} \right\} \\ \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} \right\} \\ |\vec{a}| \ne 0 \\ |\vec{b}| \ne 0 \end{cases}}\]
Запишем условие перпендикулярности векторов.
Для двумерного случая:
\[ \large \boxed { a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} = 0 }\]
Для трехмерного случая:
\[ \large \boxed { a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z} = 0 }\]
Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.
При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.
Примечание:
Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.
Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.
Перпендикулярные векторы в физике
В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.
Вот несколько примеров:
- Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
- На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
- Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
- Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
- На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).
(голосов: 4, средняя оценка: 3,25 из 5)
Загрузка...
