Перпендикулярность векторов

Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.

Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному

Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.

Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов

Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:

  1. Поменять местами координатные числа «x» и «y».
  2. Заменить знак у одной из координат на противоположный.

Графический пример

Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).

Черные и красный векторы перпендикулярны
Рис. 1. На рисунке векторы, обозначенные черным цветом, перпендикулярны вектору, обозначенному красным цветом

На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

\[ \vec{a} = \left\{ 4 ; 3 \right\} \]

\[ \vec{b} = \left\{ -3 ; 4 \right\} \]

Из рисунка видно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны: \( \vec{a} \perp \vec{b} \).

Вектор \( -\vec{b} = \left\{ 3 ; -4 \right\} \), также будет перпендикулярным вектору \( \vec{a} \): \( \vec{a} \perp \vec{(-b)} \)

Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.

Длины векторов \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{(-b)} \) равны.

 Условие перпендикулярности векторов

Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.

\[ \large \boxed { \begin{cases} \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} \right\} \\ \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} \right\} \\ |\vec{a}| \ne 0  \\ |\vec{b}| \ne 0 \end{cases}}\]

Запишем условие перпендикулярности векторов.

Для двумерного случая:

\[ \large \boxed { a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} = 0 }\]

Для трехмерного случая:

\[ \large \boxed { a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z} = 0 }\]

Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.

При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.

Примечание:

Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.

Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.

Перпендикулярные векторы в физике

В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.

Вот несколько примеров:

  1. Если угол между вектором скорости тела и вектором силы, действующей на тело, будет прямым, то такая сила работу по перемещению тела совершать не будет.
  2. На проводник с током магнитное поле действует максимальной силой, когда вектор магнитной индукции и вектор тока в проводнике перпендикулярны.
  3. Когда угол между вращающей силой и, расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения, будет прямым, вращательный момент будет максимальным.
  4. Между линейной скоростью точки колеса и расстоянием от этой точки до оси вращения, угол прямой (радиус и касательная перпендикулярны).
  5. На вращающееся тело действует центростремительная сила. Угол прямой между этой силой и линейной скоростью точки тела (радиус и касательная перпендикулярны).

 

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector