Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

На рисунке 1 изображены векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{g} \) и их проекции на ось Ox.
Если:
- вектор параллелен оси, то «его проекция = его длина», пример для вектора \( \vec{g} \);
- вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю, пример для вектора \( \vec{b} \);
- проекция направлена против оси, то её записывают со знаком «-», пример для вектора \( \vec{a} \).
- чем больше вектор наклоняется к оси, тем больше его проекция на эту ось. Сравните проекции векторов \( \vec{c} \) и \( \vec{g} \).
Примечание:
Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной
Как разложить вектор на проекции
Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.
Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.
На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:
- длина вектора и
- угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).
Алгоритм действий для разложения вектора на проекции
- Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
- Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
- Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
- Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.
Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

Формулы разложения вектора на проекции
Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:
Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).
На языке математики эта фраза запишется так:
\[ |\vec{m}| \cdot cos(\alpha) = m_{x} \]
Катет \( m_{x} \) – это «x» координата вектора.
Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:
\[ |\vec{m}| \cdot sin(\alpha) = m_{y} \]
Катет \( m_{y} \) – это «y» координата вектора.
Обе формулы запишем в виде системы:
\[ \large \boxed {\begin{cases} \left|\vec{m}\right| \cdot cos(\alpha) = m_{x} \\ \left|\vec{m}\right| \cdot sin(\alpha) = m_{y} \end{cases}} \]
Величина \( |\vec{m}| \) — это длина вектора \( \vec{m} \)