Проекция вектора на ось

Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

На рисунке изображены векторы и их проекции на ось Ox
Рис. 1. Векторы и их проекции на ось Ox

На рисунке 1 изображены векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{g} \) и их проекции на ось Ox.

Если:

  • вектор параллелен оси, то «его проекция = его длина», пример для вектора \( \vec{g} \);
  • вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю, пример для вектора \( \vec{b} \);
  • проекция направлена против оси, то её записывают со знаком «-», пример для вектора \( \vec{a} \).
  • чем больше вектор наклоняется к оси, тем больше его проекция на эту ось. Сравните проекции векторов \( \vec{c} \) и \( \vec{g} \).

Примечание:

Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной

Как разложить вектор на проекции

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

  • длина вектора и
  • угол между вектором и какой-либо осью (угол обозначается дугой).

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

  1. Проводим прямоугольник так, чтобы вектор стал его диагональю.
  2. Диагональ разделит прямоугольник на треугольники. Эти два треугольника прямоугольные.
  3. Выберем треугольник, в котором угол отмечен дугой.
  4. Дуга одним своим концом всегда касается гипотенузы, а вторым концом – одного из катетов.

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

На рисунке изображен вектор, угол между вектором и осью, проекции вектора
Рис. 2. Проекции вектора поможет найти угол между вектором и осью

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

\[ |\vec{m}| \cdot cos(\alpha) = m_{x} \]

Катет \( m_{x} \) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

\[ |\vec{m}| \cdot sin(\alpha) = m_{y} \]

Катет \( m_{y} \) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

\[ \large \boxed {\begin{cases}  \left|\vec{m}\right| \cdot cos(\alpha) = m_{x} \\ \left|\vec{m}\right| \cdot sin(\alpha) = m_{y} \end{cases}} \]

Величина \( |\vec{m}| \) — это длина вектора \( \vec{m} \)

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector