Угол между векторами

Векторы, расположенные в пространстве, или на плоскости, образуют угол (рис. 1).
При этом, в трехмерном пространстве векторы могут лежать на параллельных, пересекающихся, или на скрещивающихся прямых. А на плоскости (в двумерном пространстве) – на параллельных, или пересекающихся прямых.

На рисунке изображены векторы, образующие угол
Рис. 1. Два вектора образуют угол

Как найти угол между векторами, скалярно их перемножив

Пользуясь формулами скалярного произведения, можно находить углы между векторами.
Пусть известны координаты двух векторов.

Чтобы найти угол между векторами, выполняем такую последовательность действий:

1). Находим число \( \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \)
Для этого применяем формулу
\[ \left( \vec{a} , \vec{b} \right) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} \]

2). Находим длину каждого вектора
\[ \begin{matrix} \left| \vec{a} \right| = \sqrt { a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } \\
\left| \vec{b} \right| = \sqrt { b_{x}^{2} + b_{y}^{2} } \end{matrix} \]

3). Подставляем три найденных числа \( \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \), \( \left| \vec{a} \right| \), \( \left| \vec{b} \right| \) в формулу
\[ \left( \vec{a} , \vec{b} \right) = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot cos(\alpha) \]
и выражаем \( cos\left( \alpha \right) \).

\[ \frac{\left( \vec{a} , \vec{b} \right)}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} =  cos(\alpha) \]

4). С помощью калькулятора или таблиц Брадиса по известному косинусу угла находим угол между векторами.

Примечания:

\( cos\left( 0^{o} \right) = 1 \), если в результате получаем единицу, векторы параллельны.
\( cos\left( 90^{o} \right) = 0 \), если в результате получаем ноль, векторы перпендикулярны.
Если косинус отрицательный, то угол между векторами тупой, а если положительный, то угол – острый.

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector