Умножаем вектор на вектор скалярным способом

Скалярный способ умножения векторов обозначают так:

• круглыми скобками \( \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \),
• иногда так \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).

Результат скалярного произведения – число. Это число можно получить одним из двух способов.

Когда известны длины векторов и угол между ними

Зная длину векторов и угол между ними, можно вычислить их скалярное произведение по формуле:

\[ \large \boxed { \left( \vec{a} , \vec{b} \right) = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot cos(\alpha) } \]

\( \left| \vec{a} \right| \) — длина вектора \( \vec{a} \);
\( \left| \vec{b} \right| \) — длина вектора \( \vec{b} \);
\( \alpha \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

\( \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \) — число, которое получаем в результате скалярного произведения векторов.

Когда известны координаты двух векторов

С помощью координат векторов, скалярное произведение вычисляем, пользуясь такой формулой:
\[ \large \boxed { \left( \vec{a} , \vec{b} \right) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} }\]

\( \left( \vec{a} , \vec{b} \right) \) — число, которое получаем в результате скалярного произведения векторов;
\( a_{x} \) и \( a_{y} \) — числа, это координаты вектора \( \vec{a} \);
\( b_{x} \) и \( b_{y} \) — числа, это координаты вектора \( \vec{b} \);

Пример скалярного произведения в физике

Одним из примеров применения скалярного произведения, может послужить формула работы.
В физике работу рассчитывают, находя скалярное произведение двух векторов: вектора силы, действующей на тело и, вектора перемещения этого тела.
\[ A = \left| \vec{F} \right| \cdot \left| \vec{r} \right| \cdot cos(\alpha) \]

Эту формулу можно записать в сокращенном, векторном виде:
\[ A = \left( \vec{F}, \vec{r} \right) \]

Ее произносят так: работа — это скаляр, который мы получим, когда перемножим скалярно силу и перемещение (рис. 1).

Рис. 1. Векторы силы и перемещения образуют угол

Примечание:
Умножать можно векторы, имеющие различную размерность. То есть, длина перемножаемых векторов будет измеряться в различных единицах.