Геометрическая интерпретация векторного произведения может быть представлена так.
На двух векторах можно построить параллелограмм. Векторы – стороны параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно найти по формуле
\[ S_{\text{паралл}} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot sin(\alpha) \]
\( \left| \vec{a} \right| \) — длина вектора \( \vec{a} \);
\( \left| \vec{b} \right| \) — длина вектора \( \vec{b} \);
\( \alpha \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Векторный способ умножения двух векторов обозначают:
- квадратными скобками \( \left[ \vec{a} , \vec{b} \right] \)
- иногда так \( \vec{a} \times \vec{b} \)
Результат векторного произведения – новый вектор.
Полученный вектор:
- перпендикулярен параллелограмму,
- длина этого вектора площади параллелограмма (численно).
\( \left[ \vec{a} , \vec{b} \right] \) — это новый вектор, полученный в результате векторного произведения двух векторов
\(\left|\left[ \vec{a} , \vec{b} \right] \right| \) — это длина нового вектора (его модуль).
Важно! Длина полученного вектора равна площади параллелограмма:
\[ \left| \left[ \vec{a} , \vec{b} \right] \right| = S_{\text{паралл}}\]
Если известны длины векторов и угол между ними, длину полученного вектора можно посчитать так:
\[ \large \boxed { \left|\left[ \vec{a} , \vec{b} \right] \right| = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot sin(\alpha) }\]
\( \left| \vec{a} \right| \) — длина вектора \( \vec{a} \);
\( \left| \vec{b} \right| \) — длина вектора \( \vec{b} \);
\( \alpha \) — угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
Важно! Если изменить очередность, в которой перемножаем векторы, то результат развернется в противоположную сторону.
Примечание:
Если векторы, которые мы перемножили, лежали в плоскости xOy, то результирующий вектор будет располагаться перпендикулярно этой плоскости, то есть, параллельно оси Oz.
Координаты конечного вектора будут такими:
\[ \vec{c} = \left\{ 0 ; 0 ; c_{z} \right\} \]
Координату \( c_{z} \) можно найти по формуле:
\[ c_{z} = a_{x} \cdot b_{y} — b_{x} \cdot a_{y} \]
Длина вектора:
\[ | \vec{c} | = | c_{z} |\]
Как вычислить векторное произведение с помощью определителя
Если перемножаемые векторы не лежат в плоскости xOy, найти координаты вектора-результата можно с помощью определителя.
Пусть известны координаты двух векторов в трехмерном пространстве
\( \vec{a} = \left\{ a_{x} ; a_{y} ; a_{z} \right\} \)
\( \vec{b} = \left\{ b_{x} ; b_{y} ; b_{z} \right\} \)
Формула их векторного произведения записывается так:
\[\large \boxed { \left[ \vec{a} , \vec{b} \right] = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
\end{vmatrix} }\]
\( \left[ \vec{a} , \vec{b} \right] = \vec{c} \)
Полученный вектор \(\vec{c}\) имеет координаты
\[\vec{c} = \left\{ c_{x} ; c_{y} ; c_{z} \right\}\]
Координаты этого вектора можно находить по частям.
\[ \large \boxed {\begin{cases} c_{x} = \left( a_{y} \cdot b_{z} -a_{z} \cdot b_{y} \right) \\ c_{y} = -\left( a_{x} \cdot b_{z} — a_{z} \cdot b_{x} \right) \\ c_{z} = \left( a_{x} \cdot b_{y} — a_{y} \cdot b_{x} \right) \end{cases} } \]
Векторное произведение в физике, примеры
В физике векторное произведение применяют довольно часто.
Линейная скорость вращающейся точки – это векторное произведение угловой скорости точки на расстояние от этой точки до оси вращения.
В векторном виде:
\[ \vec{v} = \left[ \vec{\omega} , \vec{R} \right] \]
В скалярном виде:
\[ v = \omega \cdot R \]
Сила Ампера – это векторное произведение вектора тока-длины проводника на вектор магнитной индукции.
В векторном виде:
\[ \vec{F_{A}} = \left[\overrightarrow { I \cdot l} , \vec{B} \right] \]
В скалярном виде:
\[ F_{A} = I \cdot B \cdot l \cdot sin(\alpha)\]
Загрузка...
