Векторы, имеющие равные длины

Рассмотрим векторы, имеющие равные длины. Если такие векторы сонаправлены, их называют равными.

У равных векторов совпадает и длина и направление.

Векторы, направленные в противоположные стороны, даже, если у них будут равные длины, равными назвать не получится.

Если совпадает только одна характеристика — длина, то векторы называют равными по модулю.

Равные векторы

Если два вектора равны (т. е. одинаковые), то у них одинаковые:

• длина,
• направление,
• координаты.

Рассмотрим рисунок 1. На рисунке представлены векторы, обозначенные красным и зеленым цветом. Видно, что векторы имеют равные координаты — проекции на оси. Длины проекций для этих векторов: на ось Ox = 2, на ось Oy = 3. Если векторы имеют равные соответственные проекции (координаты), то эти векторы равны.

Рис. 1. Векторы, обозначенные красным и зеленым цветом, имеют равные координаты — проекции на оси

Примечание:

Когда векторы равны, вместо одного из них мы можем использовать второй вектор. Если нам будет удобнее работать со вторым вектором.

Противоположно направленные векторы

Вектор можно развернуть в противоположную сторону. С точки зрения математики, для этого достаточно перед вектором дописать знак минус.

Пример 1:

Векторы \( \vec{F} \) и \( -\vec{F} \) развернуты в противоположные стороны.

Когда векторы обозначают двумя буквами, то:

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \left( -\overrightarrow{AB}\right) \) направлены в противоположные стороны.

Вектор \( \left(-\overrightarrow{AB} \right) \)  — это вектор \( \overrightarrow{BA} \).

На языке математики это записывают так: \( \left(-\overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{BA} \).

Для вектора \( \overrightarrow{AB} \): точка A — начальная, B — конечная.

А для вектора \(\overrightarrow{BA} \) наоборот: точка B — начальная, A — конечная.

Когда даны координаты вектора, то, чтобы его развернуть в противоположную сторону, нужно изменить знак каждой его координаты на противоположный.

Пример 2:

Векторы \( \vec{a} = \left\{ -2; 7; -5 \right\} \) и \( \vec{b} = \left\{ 2; -7; 5 \right\} \) направлены в противоположные стороны.

Рис. 2. Векторы, на рисунках а) и б), имеют равную длину, а направлены противоположно

Примечание:

Если равны только длины векторов, а направлены они в противоположные стороны, знак равенства между ними записать не получится. Такие векторы не равны!

\( \vec{a} = \left\{ -2; 7; -5 \right\} \)

\( \vec{b} = \left\{ 2; -7; 5 \right\} \)

\( |\vec{a} | = | \vec{b} | \) – равны только длины векторов;

\( \vec{a} \ne \vec{b} \) – векторы не равны, так как их направления различаются;

Физика, равные по модулю противоположно направленне векторы

В физике, в третьем законе Ньютона, идет речь о равных по модулю и противоположно направленных векторах.

Вспомним третий закон Ньютона: \( \vec{F_{12}} = -\vec{ F_{21}} \) – длины векторов равны, а направления противоположны.

Чтобы приравнять такие векторы, необходимо перед одним из них записать знак минус:

\( \vec{F_{12}} = -\vec{ F_{21}} \) или  \( -\vec{F_{12}} = \vec{ F_{21}} \)