Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.
Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.
Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;
Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.
Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.
При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.
Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».
Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.
Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.
Равноускоренное движение
Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.
Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.
Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).
Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.
В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.
Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.
Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:
\[ v = v_{0} + a \cdot t \]
Уравнение движения выглядит так:
\[ S = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]
Или так:
\[ x – x_{0} = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]
Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed{ \begin{cases} v = v_{0} + a \cdot t \\ S = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]
Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.
Равнозамедленное движение
Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.
Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.
На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.
Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.
В начале и в конце пути скорости будут различаться.
Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.
Связь между скоростями выглядит так:
\[ v = v_{0} — a \cdot t \]
А уравнение движения имеет такой вид:
\[ S = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \]
Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_{0}\), получим:
\[ x – x_{0} = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \]
Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:
\[ \large \boxed{ \begin{cases} v = v_{0} — a \cdot t \\ S = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]
Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.
Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.
Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси
Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).
При такой направленности векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{a}\), с течением времени модуль скорости будет уменьшаться до нуля. Это движение будет равнозамедленным.
А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.
Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».
Запишем связь между скоростями:
\[ v = — v_{0} + a \cdot t \]
Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:
\[ x – x_{0} = — v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]
Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:
\[ \large \boxed{ \begin{cases} v = — v_{0} + a \cdot t \\ x – x_{0} = — v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]
Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.
Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.
Мгновенная скорость
Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.
Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:
\[ v = v_{0} \pm a \cdot t \]
Знак ускорения зависит его направления.
Средняя скорость
Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.
Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.
Примечания:
- Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
- Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
- Если скорость изменяется, появляется ускорение.
Формула для расчета средней скорости:
\[ \large \boxed { v_{\text{средняя}} = \frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{полное}}}} \]
\( S_{\text{весь}}(\text{м}) \)– полный путь, пройденный телом;
\( t_{\text{полное}} \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.
(голосов: 5, средняя оценка: 3,80 из 5)
Загрузка...
