Равнопеременное движение

Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.

Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.

Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;

Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.

Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.

При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.

Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».

Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.

Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.

Равноускоренное движение

Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.

Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.

Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Равноускоренное движение, когда перемещение тела увеличивается на одну и ту же величину
Рис. 1. Перемещение увеличивается на одну и ту же величину при равноускоренном движении

Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).

Скорость увеличивается, когда векторы скорости и ускорения направлены в одну и ту же сторону
Рис.2. Векторы скорости и ускорения направлены в одну и ту же сторону, скорость увеличивается

Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.

В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.

Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.

Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:

\[ v  = v_{0} + a \cdot t \]

Уравнение движения выглядит так:

\[ S  = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]

Или так:

\[ x – x_{0}  = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]

Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v  = v_{0} + a \cdot t \\ S  = v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]

Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.

Равнозамедленное движение

Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.

Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.

Равнозамедленное движение, когда перемещение тела уменьшается на одну и ту же величину
Рис. 3. Перемещение уменьшается на одну и ту же величину при равнозамедленном движении

На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Скорость уменьшается, когда векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны
Рис. 4. Векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, скорость уменьшается

Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.

В начале и в конце пути скорости будут различаться.

Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.

Связь между скоростями выглядит так:

\[ v  = v_{0} — a \cdot t \]

А уравнение движения имеет такой вид:

\[ S  = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \]

Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S =  x — x_{0}\), получим:

\[ x – x_{0}  = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \]

Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v  = v_{0} — a \cdot t \\ S  = v_{0} \cdot t — a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]

Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.

Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси

Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).

Скорость направлена против оси и уменьшается, векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны
Рис. 5. Векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны, скорость направлена против оси, модуль скорости уменьшается

При такой направленности векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{a}\), с течением времени модуль скорости будет уменьшаться до нуля. Это движение будет равнозамедленным.

А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.

Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».

Запишем связь между скоростями:

\[ v  = — v_{0} + a \cdot t \]

Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:

\[ x – x_{0}  = — v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \]

Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} v  = — v_{0} + a \cdot t \\ x – x_{0}  = — v_{0} \cdot t + a \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]

Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.

Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.

Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:

\[ v  = v_{0} \pm a \cdot t \]

Знак ускорения зависит его направления.

Средняя скорость

Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.

Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.

Примечания:

  1. Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
  2. Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
  3. Если скорость изменяется, появляется ускорение.

Формула для расчета средней скорости:

\[ \large \boxed { v_{\text{средняя}} = \frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{полное}}}} \]

\( S_{\text{весь}}(\text{м}) \)​– полный путь, пройденный телом;

\( t_{\text{полное}} \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.

Ссылка на основную публикацию
Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock
detector