Вращательный момент, примеры расчетов

Рассмотрим несколько задач на тему «вращательный момент» с пояснениями. Будем осуществлять расчет перпендикулярных частей сил и плеч сил в случаях, когда углы между силой и рычагом отличаются от прямого.

Это вторая часть статьи о моменте силы. Первая часть находится тут (откроется в новой вкладке).

Угол между силой и рычагом отличается от прямого

Рассмотрим рисунок 1. На рисунке 1а сила приложена к рукоятке ключа под прямым углом. На рисунках 1б и 1в углы между силой и рукояткой (рычагом) отличаются от прямого.

Рис. 1. Несколько способов приложения силы к рычагу под различными углами

Длина рычага является расстоянием между точкой приложения силы и осью вращения. Когда угол отличается от прямого, для вычисления момента силы нужно раскладывать на проекции либо силу, либо длину рычага (рукоятки).

Раскладываем силу

Разложим приложенную силу \( F \) на части. Одна часть будет располагаться перпендикулярно рукоятке, а другая – параллельно (см. рис. 2).

Рис. 2. Способ разложения силы, приложенной к рычагу под тупым (а) и острым (б) углами

Рукоятку вращает только перпендикулярная часть силы. На рисунке 2 она обозначена, как \( F_{1} \).

Параллельная рукоятке часть обозначена \( F_{2} \). Она не вращает рукоятку, а сдвигает ключ либо от гайки (рис. 2а), либо в сторону гайки (рис 2б).

Рукоятка ключа – это плечо для перпендикулярной части силы.

Момент силы для рисунка 2 считаем по формуле:

\[ M = F_{1} \cdot d \]

Наиболее выгодно прикладывать силу перпендикулярно рукоятке (см. рис 1а). В этом случае вращательный момент силы будет наибольшим.

В остальных случаях вращать рукоятку будет не вся сила целиком, а только лишь ее перпендикулярная часть.

Помним! Между силой и ее плечом угол прямой.

Задача 1

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Определить часть вектора силы, вращающего гаечный ключ. С помощью этой части вектора силы рассчитать вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рисунок.

Рис. 3. Раскладываем на проекции силу, приложенную к рычагу под острым углом

Решение:

• Проведем перпендикулярную \( F_{1} \) часть и параллельную рычагу \( F_{2} \) часть силы (рис. 3).

Примечание:

Чтобы разложить вектор силы на части, нужно нарисовать прямоугольник. Так, чтобы вектор, который мы раскладываем, оказался диагональю прямоугольника. Две стороны этого прямоугольника будут параллельны рукоятке, а другие две – перпендикулярны ей.

Тогда стороны прямоугольника обозначат проекции – перпендикулярную и продольную (параллельную).

• Вычислим перпендикулярную \( F_{1} \) часть силы:

\[ F_{1} = F \cdot sin(\alpha)\]

\( sin(30^{o})=0,5\)

\( F_{1} = 20 \cdot 0,5\)

\( F_{1} = 10 \left(H\right)\)

• Рассчитаем теперь вращательный момент M этой силы:

\[ M = F_{1} \cdot d \]

\( M = 10 \cdot 0,2 \)

\( M = 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Ответ: Вращательный момент равен \( 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Раскладываем расстояние

Для подсчета вращательного момента, на проекции можно раскладывать не только силу.

На части можно разложить длину рукоятки, так, чтобы одна часть оказалась продольной силе, а другая – параллельной (рис. 4).

После выбираем часть длины, перпендикулярную силе. Эта сторона является плечом силы.

Рис. 4. Раскладываем на проекции длину рычага для приложенных под тупым (а) или острым (б) углом сил

На рисунке 4а перпендикулярно силе располагается \( d_{1} \), для этого случая момент силы считаем так:

\[ M = F\cdot d_{1}  \]

Из рисунка 4б выбираем перпендикулярную силе величину \( d_{2} \). Момент силы вычисляем, пользуясь формулой:

\[ M = F\cdot d_{2}  \]

Задача 2

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Определить плечо вектора приложенной силы. С помощью этого плеча рассчитать вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рис. 5. Для приложенной под острым углом силы раскладываем на проекции длину рычага

Решение:

• Проведем параллельную \( d_{1} \) и перпендикулярную силе \( d_{2} \) часть рычага (рис. 5).

Примечание:

Снова рисуем прямоугольник. Но теперь не сила, а рукоятка должна оказаться диагональю прямоугольника. Две стороны этого прямоугольника будут параллельны силе, а другие две – перпендикулярны ей.

В прямоугольнике выбираем сторону, перпендикулярную силе. Эта сторона является плечом силы.

О формулах разложения векторов на проекции подробно написано тут (откроется в новой вкладке).

• Вычислим перпендикулярную силе F часть длины \( d_{2} \) рычага – плечо силы F:

\[ d_{2} = d \cdot sin(\alpha)\]

\( sin(30^{o})=0,5\)

\( d_{2}  = 0,2 \cdot 0,5\)

\( d_{2} = 0,1 \left( \text{м} \right)\)

• Рассчитаем теперь с помощью найденного плеча \( d_{2} \) силы F вращательный момент M:

\[ M = F \cdot d_{2} \]

\( M = 20 \cdot 0,1 \)

\( M = 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Ответ: Вращательный момент равен \( 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Расчет момента силы с помощью формулы, содержащей угол между силой и рычагом

Вращательный момент можно рассчитать без прямого указания плеча силы, зная угол между силой и рычагом. Подробнее в первой части статьи (откроется в новом окне)

Задача 3

Угол между приложенной силой и рукояткой ключа равен 30 градусам. Не рассчитывая плеча силы найти вращательный момент. Сила равна 20 Н. Длина рукоятки 20 см.

Рис. 6. Рассчитаем момент приложенной под острым углом силы без разложения на проекции

Решение:

• Воспользуемся формулой для вычисления вращательного момента:

\[ M = F \cdot d \cdot sin(\alpha)\]

\( sin(30^{o})=0,5\)

\( M = 20 \cdot 0,2 \cdot 0,5\)

\( M = 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Ответ: Вращательный момент равен \( 2 \left( H \cdot \text{м} \right) \)

Как видно из задач 1 — 3, все три способа вычисления вращательного момента дают аналогичные результаты.