Умножаем вектор на число

Вектор можно умножать на число (скалярную величину).
Что получится в результате? Легко запомнить так:
\[ \large \boxed {  \text{вектор} \cdot \text{число} = \text{вектор} } \]

То есть, умножив вектор на число, получим новый вектор.

Как умножить вектор на число

Умножая вектор на число, изменяем его длину.

Как изменится длина вектора

Длина вектора увеличивается, когда число превышает единицу (по модулю).
Если же, число меньше единицы (по модулю), длина вектора уменьшается.

Когда:
— число положительное, результат сонаправлен с начальным вектором.
— число отрицательное, результат развернется в противоположную сторону.

Рис. 1. Вектор и результаты умножения его на числа 2,5; -2,5; и 0,5; -0,5

Примечание:
Операция умножения вектора на число не поворачивает вектор на какой-либо угол относительно начального положения. То есть, начальный и конечный векторы останутся параллельными.

Когда известны координаты вектора

Зная координаты вектора, умножить его на число можно умножением каждой координаты на это число.

​\( \vec{a} = \{ a_{x}; a_{y}\} \)​ — координаты вектора \( \vec{a}\)
​\[ \large \boxed { k \cdot \vec{a} = \{ k \cdot a_{x}; k \cdot a_{y} \} }\]​

Пример из физики

Одним из примеров умножения вектора на число в физике может служить второй закон Ньютона.
Домножив обе части закона Ньютона на массу тела, получим формулу
\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} \]
Умножив массу этого тела – скаляр \( m \), на ускорение тела – вектор \( \vec{a} \), мы получим новый вектор \( m \cdot \vec{a} \). Этот вектор обозначим символом \( \vec{F} \) и назовем силой.
Сила, действующая на тело, придает ему ускорение.

Рис. 2. Вектор ускорения a и результат умножения его на число m

Формула \( m \cdot \vec{a} = \vec{F} \) записана в векторном виде. Такая запись означает, что речь идет не только о модулях (длинах) векторов. Векторный вид позволяет передать информацию направлении вектора.
Как отмечено выше, мы не можем повернуть вектор на какой-либо угол относительно начального положения, умножая его на число. После умножения изменится лишь длина вектора.
Значит, векторы \( \vec{F} \) и \( \vec{a} \) сонаправлены, но имеют различную длину. Длина векторов отличается в \( m \) раз.