Виды движения по окружности

Угловое движение можно условно разделить на два вида:

1. Когда изменяется только направление вектора линейной скорости, а его длина не изменяется.
2. Или, когда изменяются обе характеристики вектора линейной скорости.

Во втором случае, для описания движения будем применять более сложные формулы кинематики. Так как появится еще один вид ускорения.

Центростремительное (нормальное) ускорение есть всегда, когда есть движение по окружности, при этом не важно, меняется ли скорость тела по модулю, или не меняется.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Пусть тело движется по окружности, но при этом длина вектора линейной скорости не меняется (рис. 1).

\[\left|\vec{v} \right| = const\]

Рис. 1. Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру окружности, он изменяет направление вектора скорости, но модуль вектора скорости остается неизменным

На рисунке 1 указаны: а) – вид сбоку, б) вид сверху, вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно рисунку.

Скорость будет меняться только по направлению от точки к точке, потому, что на тело действует центростремительная сила \(\displaystyle \vec{F_{\text{ц}}}\) , тело обладает центростремительным \(\displaystyle \vec{a_{\text{ц}}}\) (нормальным) ускорением.

\[\large \boxed{ \left| \vec{a_{n}} \right| = \frac{v^{2}}{R} }\]

Кроме линейной, тело обладает угловой скоростью. Если линейная скорость не изменяется по модулю, то длина вектора угловой скорости не меняется.

На рисунке 1а изображен вектор угловой скорости \(\displaystyle \vec{\omega}\), на рисунке 1б вектор угловой скорости направлен к нам перпендикулярно плоскости рисунка. Направление, в котором тело движется по окружности, указано синей стрелкой.

Тангенциальное ускорение – когда модуль скорости меняется

Тело может увеличивать или уменьшать свою скорость, когда движется по окружности.

В таком случае, дополнительно к нормальному ускорению возникает тангенциальное \(\displaystyle \vec{a_{\tau}}\) ускорение.

Тангенциальное ускорение играет роль линейного ускорения при прямолинейном движении тела. Вектор \(\displaystyle \vec{a_{\tau}}\)  направлен параллельно вектору \(\displaystyle \vec{v}\) скорости.

Подобно движению по прямой, вектор ускорения – это первая производная скорости по времени, или вторая производная перемещения по времени.

\[\large \boxed{ \vec{a_{\tau}} = \frac{d\vec{v}}{dt} }\]

Когда векторы скорости \(\vec{v}\) и ускорения \(\vec{a_{\tau}}\) сонаправлены (рис. 2), линейная и угловая скорости возрастают.

Рис. 2. Когда тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, эта скорость возрастает

А когда ускорение \(\vec{a_{\tau}}\) направлено противоположно (рис. 3) вектору скорости \(\vec{v}\), угловая и линейная скорости уменьшаются.

Рис. 3. Когда тангенциальное ускорение направлено противоположно вектору линейной скорости, эта скорость убывает

С линейной скоростью \(\vec{v}\) связана угловая \(\vec{\omega}\) скорость.

Из рисунков 2, 3 следует: когда появляется тангенциальное ускорение, меняется и угловая скорость. Значит, тангенциальное ускорение \(\vec{a_{\tau}}\) появляется совместно с угловым \(\vec{\beta}\) ускорением и между ними есть связь.

Связь между тангенциальным и угловым ускорением выглядит аналогично связи между линейной и угловой скоростью.

В векторном виде

\[\large \boxed{ \left[\vec{\beta}, \vec{R} \right] = \vec{a_{\tau}} }\]

В скалярном виде

\[ \large \boxed{ a_{\tau} = \beta \cdot R }\]

\(\displaystyle \vec{\beta} \left( \frac{\text{рад}}{c^{2}}\right)\) – угловое ускорение;

\(\displaystyle \vec{ a_{\tau}} \left( \frac{\text{м}}{c^{2}}\right)\) – тангенциальное ускорение;

\(R \left( \text{м}\right)\) – радиус окружности.

Равноускоренное движение по окружности

Угловая скорость увеличивается (рис. 2), когда угловое ускорение сонаправлено с вектором угловой скорости. Когда движение происходит с постоянным ускорением, его называют равноускоренным.

Для решения задач на равноускоренное движение по окружности, поступаем аналогично равноускоренному движению по прямой. Применяем систему из двух уравнений:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} \omega  = \omega _{0} + \beta \cdot t \\ \displaystyle \varphi  = \omega_{0} \cdot t + \beta \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]

Первое уравнение системы – это связь между начальной \(\omega_{0} \) и конечной \(\omega \) скоростью. Второе уравнение – это уравнение движения.

Равнозамедленное движение по окружности

Когда векторы \(\vec{\beta}\) и \(\vec{\omega}\) направлены в  противоположные стороны, угловая скорость \(\vec{\omega}\) уменьшается (рис. 3).

Для решения задач кинематики, в которых угловая скорость уменьшается и, движение равнозамедленное, используем систему, состоящую из таких уравнений:

\[ \large \boxed{ \begin{cases} \omega  = \omega _{0} — \beta \cdot t \\ \displaystyle \varphi  = \omega_{0} \cdot t — \beta \cdot \frac{t^2}{2} \end{cases} } \]

Общее ускорение при движении по окружности

Пусть точка движется по окружности и линейная \(\vec{v}\) скорость ее изменяется по модулю. При этом, точка обладает двумя видами ускорения — нормальным и тангенциальным. Эти виды ускорения обозначают символом \(\vec{a}\).

Примечание: Любое ускорение, обозначаемое символом «a», измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

Если мы сложим векторы \(\vec{a_{n}}\) и \(\vec{a_{\tau}}\) геометрически (рис. 4), то найдем общее \(\vec{a}\) ускорение точки. На рисунке вектор общего ускорения отмечен черным цветом и обозначен символом \(\vec{a}\). Синей стрелкой указано направление движения точки по окружности.

Рис. 4. Складывая геометрически векторы нормального и тангенциального ускорения, получаем общее ускорение точки, движущейся по окружности

Направление вектора общего ускорения указано на рисунке 4а, а для равнозамедленного – на рисунке 4б.

Так как векторы \(\vec{a_{\tau}}\) и \(\vec{a_{n}}\) всегда перпендикулярны, длину вектора общего ускорения \(\vec{a}\) можно найти из теоремы Пифагора:

\[ \large \boxed{ \left|\vec{a}\right| = \sqrt{(a_{\tau})^{2} + (a_{n})^{2} } } \]